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『数学セミナー 2017年11月号』の読書メモ

数学読書メモ

『数学セミナー 2017年11月号』の読書メモです。

数学セミナー 2017年 11 月号

数学セミナー 2017年 11 月号

出版社/メーカー: 日本評論社
発売日: 2017/10/12
メディア: 雑誌
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コンピュータ将棋・囲碁のこれから

コンピュータチェス・将棋・囲碁の現状と今後について、6個の記事（プラス特集外のもう1つの記事）が書かれている。
研究者だけでなく、将棋・囲碁のプロ棋士の記事もある。
通常の特集記事では数式がたくさん登場するが、今月号は数式はごく一部にしか出てこない。数式の意味がわからなくても、記事の内容はつかめると思う。
記事の内容としては、数学というよりも機械学習やディープラーニングのとっかかりというイメージだろうか。

コンピュータチェス・将棋・囲碁について

3つに共通するのは二人完全情報確定ゼロ和ゲームである。オセロもこの仲間。
コンピュータチェス（Deep Blueというプログラム）は2000年代半ばに人間のトップを超えるレベルに達したと思われる。
コンピュータ将棋（ponanza）は2010年代半ばに人間のトップを超えるレベルに達したと思われる。
- コンピュータにとっての将棋の難しさは、持ち駒再利用ルールにある。
コンピュータ囲碁（アルファ碁）は、すでに人間のレベルを超えたと言われている。
- 囲碁の難しさは、盤面が広く合法手が多いことや評価関数の設計が非常に難しいことに由来する。

必要な数学的知見（と思われるもの）

純粋数学ばかりを学んでいた自分から見ると、計算機数学で考慮する内容は以下のようなことなのかなと思った。
- 計算量、計算の深さ、収束の速さ、近似・・・「候補手」をどう絞るか？
- 有界性、連続性、非線形性（テイラー級数展開（多項式）、フーリエ級数展開（三角関数））
- 確率・統計（マルコフ決定過程、検定、尤度）、数値計算（モンテカルロ法など）
  - 確率・統計と数値計算は自分はほとんど知りません…。
機械学習という意味では、教師あり学習と強化学習の2つがある。過学習に注意。

プロ棋士の視点

将棋

プロ棋士がコンピュータ将棋の棋譜を勉強していい手を探すことが増えている。
「人間が人間を超えた存在から学ぶ」という新しい段階。
藤井聡太四段の強さとコンピュータ将棋の関係についても記述あり。

囲碁

アルファ碁は強いが、最後には勝つものの途中では人間から見ると考えられない悪手を打つこともある。
AIと人間の付き合い方をよく考えて、コンピュータをうまく活用する部分を見出していくのも1つの考え方かもしれない。

必勝法の解明

コンピュータが人間を超えたとしても、研究課題はまだある。
例えば、必勝法の解明。これらのゲームは先手必勝、後手必勝、引き分けのいずれかになることはわかっているが、具体的にどのゲームがどれに当てはまるかは一般にわからない。
チェッカーというゲーム（場合の数：10^30）は2007年に引き分けであることがわかった。
- 特集外のもう1つの記事に、チェッカーの必勝法解明に関わった方の記事がある。
- この記事の最後に、証明の正しさについての言及があり興味深い。
オセロ（10^60）、チェス（10^120）、将棋（10^220）、囲碁（10^360）の必勝法は未解明。

第58回国際数学オリンピックブラジル大会／問題と解説

全部で6問。第1問の解説を読んでみたが、なかなかペンが進まず中断。整数問題の苦手意識を思い知らされた。
6問の問題・解説をざっと読んで、「こういう問題がとけるのってすごいなぁ。しかも高校生で」と月並みな感想。確かに、高校数学を大きく逸脱するものはないが…。

NOTE／講評と解説

$\sqrt{2}$ の連分数展開が出てきた。
連分数展開は詳しいことをきちんと知らなかったので、Wikipediaで調べてみた。学部3年のときのセミナーの本をもう少し読み進めると出てきたかもしれない。

計算するたのしみ--スターリング数のいる風景（第10回：行列と差分と微分と）

行列と多項式の計算なので手を動かせばわかると思うけど、まだ手が出ていない。
ざっと読んでみて、交換子積が微分操作と関係あるの？というのが気になった。離散と連続、差分と微分の関係はやっぱり気になる。
後半は微分方程式の初期値・境界値問題の話らしい。ロンスキアンってやったなぁ。

楕円積分と楕円関数--おとぎの国の歩き方（第8回：代数関数のリーマン面入門(2)--世界は丸い）

これを読めば、リーマン面が少しはわかるようになるかもしれない。…と思っているが、まだ読めていない。
後半に、微分形式（1形式）や位相幾何学（ホモロジー群）の話がある。

超モース理論をめぐる旅（第14回：沈めこみ写像とファイバー束）

本論は理解できていないが、冒頭の「 $\int_{0}^{\pi / 2} x \log ( \sin x) dx$ の定積分の計算は歯が立たないが、積分区間を $(0, \pi)$ まで広げると簡単になる」が気になる。詳細は以下の本に書いてあるらしい。

www.nippyo.co.jp

数セミメディアガイド

このコーナーで紹介されていた『行列の解析学』という本が気になった。おそらく、同じ著者の『線型代数入門』を読んだばかりだったので。

齋藤正彦数学講義行列の解析学