「実数→複素数」と「複素数→実数」の関数があまり論じられない理由

3月になって、ブックオフに数学の専門書がいつもより多く並んでいます。
卒業した大学生が教科書を売りに出したんだろうと思います。自分もそうでした。

この状況、ちょっとワクワクします。
図書館に数学の専門書が少し置いてある程度で、近所に本格的な数学書を扱う書店がないので。

そんな思いで書棚を見ていたら、複素関数論の本がありました。
林一道『初等関数論』です。

初等関数論

作者: 林一道
出版社/メーカー: 裳華房
発売日: 1992/10/01
メディア: 単行本
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複素関数論は学生時代に講義を受けたものの理解できませんでしたが、なんとなく手に取ってみました。

すると、この本の前書きにずっと疑問だったことの答えが書いてありました。

複素関数についての素朴な疑問

複素関数を勉強し始めたころから素朴な疑問がありました。

【疑問】
複素関数を定義域と値域で大きく分類すると、次の4つに分かれる。
(1) 実数→実数
(2) 実数→複素数
(3) 複素数→実数
(4) 複素数→複素数
　　※「定義域→値域」の形で書いている。
　
(1)は微分積分学、(4)は複素関数論で議論される。
では、なぜ(2)と(3)は議論されることがほとんどないのか？

「実数⊂複素数」なので、広い意味では(1)～(3)は(4)に含まれます。
一方で、(4)の特殊なケースである(2)と(3)は、独自の理論のようなものはないんだろうか？という疑問です。

その答えについて、『初等関数論』の前書きをベースにまとめました。

「(2) 実数→複素数」は、最終的に(1)に帰着できる

(2)のような関数（実変数複素数値関数）を $f(t) \ (t \in \mathbb{R})$ とします。

$f(t) \in \mathbb{C}$ なので、(1)の形の関数（実変数実数値関数） $u(t), \ v(t)$ を使って、 $f(t) = u(t) + i v(t)$ と書けます。

このとき、 $f(t)$ が連続 (resp. 微分可能, 一様連続) ならば、 $u(t), \ v(t)$ も連続 (resp. 微分可能, 一様連続) になります。これは $| \mathrm{Re} (z)| , \ | \mathrm{Im} (z)| \le |z| \ (z \in \mathbb{C})$ から従います。ここで、 $\mathrm{Re} (z) , \ \mathrm{Im} (z)$ はそれぞれ $z$ の実部と虚部です。