7931のあたまんなか

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特集「複素関数の質問箱」まとめ(その1)~『数学セミナー 2018年6月号』読書メモ

数学セミナー 2018年6月号』の特集は複素関数の質問箱」です。

複素関数は学生時代に講義を通して勉強しましたが、理解不足で終わってしまった分野です。

印象として残っているのは、実関数とは違って複素関数は「定義域内のある部分集合上での性質がわかれば定義域全体での関数の様子がわかる」ということでした。ですので、今回の特集で改めて複素関数を知ることができると期待しています。

この特集の7つの記事のうち、最初の2つの記事を読みましたので、その内容をまとめます。

複素数ってそもそも何なの?」(須川俊幸さん)

複素数の定義と様々な特徴づけについて書かれています。

複素数の定義

高校で習うレベルの内容なので、ここでは定義を省略しますが、次の特徴が説明されています。

また、複素数平面を使って考える幾何的特徴も説明されています。複素数  z複素数  c を掛けることは、 z を原点を中心に  \mathrm{arg} \ c 回転させて  |c| 倍引き延ばすことになります。

実数体  \mathbb{R} を使った複素数体  \mathbb{C} の3つの特徴づけ

 \mathbb{R}^2 に演算を入れる

集合  \mathbb{R}^2 に、複素数の実部と虚部の和と積の演算結果を保つように和と積を定める。これにより  \mathbb{R}^2 は体となり、  \mathbb{C} と同型になる。

多項式環  \mathbb{R}[x] を考える

1変数多項式環  \mathbb{R}[x] を、多項式  x^2+1 が生成する単項イデアル  (x^2+1) で割った商環  \mathbb{R}[x]/(x^2+1) \mathbb{C} と同型となる*1。特に、 x が代表する同値類が虚数単位に対応する*2

行列を使った特徴づけ

実数を成分にもつ2次正方行列全体  M_2(\mathbb{R}) の元として、  I単位行列 J := \left( \begin{array} {cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) とする。  J^2 = -I に注意すると、  \{ aI+bJ \ | \ a, \ b \in \mathbb{R} \} は体をなし、  \mathbb{C} と同型になる。 J虚数単位に対応する。

複素数は存在するか?」

上のような特徴づけから、「実数が存在するのであれば、それと同時に複素数も存在する」と答えられるのではないかと述べられています。

奇しくも、2018年6月号の発売直前に次のようなブログを書きましたので、興味があればご覧ください。

wed7931.hatenablog.com

複素数の必要性とその拡張

複素関数論の中の実関数」(中村弥生さん)

この記事では、複素関数の特徴的な性質と複素関数に拡張したことで見えてくる実関数の性質について書かれています。

オイラーの公式

実関数を複素関数に拡張することの例として、  e^{ix} = \cos x + i \sin x の導出を扱っています。また、この式から三角関数の加法定理が得られます。

初等超越関数と特殊関数

本文中で説明されている関数についてのいくつかの用語を挙げます。

解析関数(または正則関数)
収束するべき級数で定義される関数(例: \displaystyle \cos  z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n} \ (z \in \mathbb{C} )
初等関数
代数関数、指数関数、三角関数、対数関数たちの線形結合、積、商、合成関数、逆関数をとる操作で得られる関数
初等超越関数
初等関数のうち、特に代数関数ではないもの
楕円積分と楕円関数

不定積分が初等超越関数で表せない例として、楕円積分(例:  \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^4}} dx )とそこから得られる楕円関数が説明されています。*5

特殊関数

特殊関数について、ガンマ関数  \Gamma (z)ゼータ関数  \zeta (s)超幾何関数が挙げられています。実関数との関係として、次のことが説明されています。

 \mathbb{C} \cup \{ \infty \} 上の関数

実数の場合、数直線上の点が原点からどんどん離れていく場合のその行先を、正方向の極限としての  + \infty と負方向の極限としての  - \infty の2種類を考えます。

複素数の場合で、複素数平面上の点が原点からどんどん離れていく場合のその行先を考えます。

実数のように大小関係がないために2方向の極限のみを考えるわけにはいきません。離れ方はさまざまで偏角に依存するため、最終的に行き着く先を方向の概念を持たない無限遠  \infty と考えます。

そのため、複素関数 \mathbb{C} \cup \{ \infty \} から  \mathbb{C} \cup \{ \infty \} への関数ととらえることがあります。

なお、  \mathbb{C} \cup \{ \infty \} はコンパクト空間で球面  S^2 と同一視できることが書かれています。

ローラン展開

複素関数では  \frac{1}{z} という関数の  z=0 での振る舞いが大きな興味の対象だそうです。

実関数ではテイラー展開がありましたが、複素関数では負べきの項も込めたべき級数展開であるローラン展開が扱われます。展開の中心点について、負べきの項の個数によって次のような名前が付けられます。

負べきの項が有限個
真性特異点
負べきの項が無限個
除去可能特異点
負べきの項がない

また、  -1 次の項の係数を留数と呼びます。留数解析という言葉があるほど重要な数です。

感想

2つ目の記事にある無限遠点の考え方が初めて理解できました。

無限遠点というものがあることは知っていましたが、なぜそれを考える必要があるかがわかっていませんでした。

「原点からの離れ方は偏角に応じて無数にあるが、最終的に行き着く先を方向の概念を持たない無限遠点という1点とする」

これが理解できたのが大きいです。

続きの記事の内容

複素微分と複素積分、正則関数の性質、複素対数関数の多価性、解析接続と続きます。

まずは正則関数の性質まで読むのを目標としたいと思います。

おまけ

2018年3月に複素関数についての気づきをブログに書きました。興味があればどうぞ。

wed7931.hatenablog.com

*1: (x^2+1) が極大イデアルであることから従う。

*2:商環上で  x^2+1 \equiv 0 となることからわかる。

*3:非可換体で、関数の微分を考えるときは左右からの割り算の区別が必要

*4:零因子を持つ。

*5:数学セミナー 2017年4月号』から、「楕円積分と楕円関数 ― おとぎの国の歩き方」が連載されています。