特集「複素関数の質問箱」まとめ（その1）～『数学セミナー 2018年6月号』読書メモ

『数学セミナー 2018年6月号』の特集は「複素関数の質問箱」です。

数学セミナー 2018年 06 月号 [雑誌]

出版社/メーカー: 日本評論社
発売日: 2018/05/11
メディア: 雑誌
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複素関数は学生時代に講義を通して勉強しましたが、理解不足で終わってしまった分野です。

印象として残っているのは、実関数とは違って複素関数は「定義域内のある部分集合上での性質がわかれば定義域全体での関数の様子がわかる」ということでした。ですので、今回の特集で改めて複素関数を知ることができると期待しています。

この特集の7つの記事のうち、最初の2つの記事を読みましたので、その内容をまとめます。

「複素数ってそもそも何なの？」（須川俊幸さん）

複素数の定義と様々な特徴づけについて書かれています。

複素数の定義

高校で習うレベルの内容なので、ここでは定義を省略しますが、次の特徴が説明されています。

複素数全体 $\mathbb{C}$ は体をなす。
複素共役 $\mathbb{C} \ni c \mapsto \bar{c} \in \mathbb{C}$ は体としての同型写像である。

また、複素数平面を使って考える幾何的特徴も説明されています。複素数 $z$ に複素数 $c$ を掛けることは、 $z$ を原点を中心に $\mathrm{arg} \ c$ 回転させて $|c|$ 倍引き延ばすことになります。

実数体 $\mathbb{R}$ を使った複素数体 $\mathbb{C}$ の3つの特徴づけ

$\mathbb{R}^2$ に演算を入れる

集合 $\mathbb{R}^2$ に、複素数の実部と虚部の和と積の演算結果を保つように和と積を定める。これにより $\mathbb{R}^2$ は体となり、 $\mathbb{C}$ と同型になる。

多項式環 $\mathbb{R}[x]$ を考える

1変数多項式環 $\mathbb{R}[x]$ を、多項式 $x^2+1$ が生成する単項イデアル $(x^2+1)$ で割った商環 $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$ は $\mathbb{C}$ と同型となる*1。特に、 $x$ が代表する同値類が虚数単位に対応する*2。

行列を使った特徴づけ

実数を成分にもつ2次正方行列全体 $M_2(\mathbb{R})$ の元として、 $I$ を単位行列、 $J := \left( \begin{array} {cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$ とする。 $J^2 = -I$ に注意すると、 $\{ aI+bJ \ | \ a, \ b \in \mathbb{R} \}$ は体をなし、 $\mathbb{C}$ と同型になる。 $J$ が虚数単位に対応する。

「複素数は存在するか？」

上のような特徴づけから、「実数が存在するのであれば、それと同時に複素数も存在する」と答えられるのではないかと述べられています。

奇しくも、2018年6月号の発売直前に次のようなブログを書きましたので、興味があればご覧ください。

wed7931.hatenablog.com

複素数の必要性とその拡張

3次方程式の解の公式（ $x^3-15x-4=0$ の解 $x=4$ の話がおもしろい）
代数学の基本定理
物理を議論する上での複素数の必要性
複素数を拡張した四元数体*3、さらに一般化したクリフォード代数*4

「複素関数論の中の実関数」（中村弥生さん）

この記事では、複素関数の特徴的な性質と複素関数に拡張したことで見えてくる実関数の性質について書かれています。

オイラーの公式

実関数を複素関数に拡張することの例として、 $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ の導出を扱っています。また、この式から三角関数の加法定理が得られます。

初等超越関数と特殊関数

本文中で説明されている関数についてのいくつかの用語を挙げます。

解析関数（または正則関数）: 収束するべき級数で定義される関数（例： $\displaystyle \cos z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n} \ (z \in \mathbb{C} )$ ）
初等関数: 代数関数、指数関数、三角関数、対数関数たちの線形結合、積、商、合成関数、逆関数をとる操作で得られる関数
初等超越関数: 初等関数のうち、特に代数関数ではないもの

楕円積分と楕円関数

不定積分が初等超越関数で表せない例として、楕円積分（例： $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^4}} dx$ ）とそこから得られる楕円関数が説明されています。*5

特殊関数

特殊関数について、ガンマ関数 $\Gamma (z)$ 、ゼータ関数 $\zeta (s)$ 、超幾何関数が挙げられています。実関数との関係として、次のことが説明されています。

ガンマ関数とゼータ関数の積は複素パラメータを持つ実関数に関する積分で書ける： $\displaystyle \zeta(s) \Gamma(s) = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s-1}}{e^x-1} dx$ 。
三角関数に関する実積分の値を求めるために、ガンマ関数の相反公式 $\displaystyle \Gamma(z) \Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin \pi z}$ などが用いられる。
素数定理はゼータ関数の性質が密接に関わっている。