7931のあたまんなか

日々考えること、読書メモ、数学、交通関係など。うつと生きる30代後半の男です。

連載「眠れぬ夜の確率論」 ~ 『数学セミナー』読書メモ

数学セミナー』2018年4月号から、原啓介さんによる「眠れぬ夜の確率論」の連載が始まりました。

タイトルのとおり、テーマは確率論です。

高校で、場合の数、確率、条件付き確率を勉強しますが、自分にとってはどれも苦手な分野でした。

大学入試の2次試験では、

  • 場合の数の簡単な問題(碁盤の目の問題)で計算ミスをして、自己採点でへこむ。
  • 本番で確率は出ないでほしい!と思っていたら、その通りになってホッとした。

というような思い出があり印象的です。

確率論は苦手な分野ではありますが、高校数学よりも少し高い視点から確率論を見直してみて、何か得ることがあればと思っています。

【目次】

【第1回 - 2018年4月号】どうやら確からしい話

副題は「ある高校生,近江の君,ラプラス,その他の物語」です。

中学・高校で学習した「同様に確からしい」 *1 というちょっと不思議な言葉をたよりに、確率論の歴史が説明されています。

そして、「同様に確からしい」式の確率論はラプラスが提示した確率の原理がもとになっていることが説明されています。現代の言葉でいうと、次のようなものです。

  • 第一原理:確率の定義
  • 第二原理:和の法則(ここがポイント!)
  • 第三原理:積の法則
  • 第四~第七原理:条件付き確率、ベイズの公式、ベイズ推定
  • 第八~第十原理:期待値

ちなみに、この内容は数学ガール乱択アルゴリズム第4章で古典的確率として紹介されているものです。

数学ガール/乱択アルゴリズム (数学ガールシリーズ 4)

数学ガール/乱択アルゴリズム (数学ガールシリーズ 4)

【第2回 - 2018年5月号】あなたの人生の期待値

副題は「心の代数,千両みかん,ホームズ最後の事件,その他の物語」です。

未来の行動を選択するための期待値的な考え方について、過去に論じられた例を使って説明しています。

ポイントは以下の内容でしょうか。(本文より引用します)

ラプラスは確率の定義とベイズ推定について述べた第七原理までに続いて,第八から第十原理の三つで期待値の基本的性質を述べます.興味深いことは,既にこの時点で,人間の問題に期待値を応用するには絶対的な値の他に相対的な値も加味して,「精神的期待値」を考える必要がある,と書かれていることです.

【第3回 - 2018年6月号】確率・長さおよび面積

副題は「キャロルの三角形,並行宇宙,確率変数の謎,その他の物語」です。

学生時代に確率論の講義を受講していました。詳細な内容はほとんど覚えていませんが、測度論確率を関連付けて議論していたということは覚えています。

なぜこの2つを関連付けるかはよくわかりませんでしたが、この記事を読んで納得しました。一部を引用します。

「重なりのない図形に点を選ぶ確率は各図形に点を選ぶ確率の和である」と「確率はたかだか1である」の二つを守る限り,我々は「一様」には点を選べないことになります.(略)結論から言えば,確率は面積や長さと同じものだ,という直観は正しかったのですが,「長さ」や「面積」自体に徹底的な反省と再構築が必要だったのです.

その結果として得られたコルモゴロフによる確率の定義が書かれています。σ-加法族を定義した上で、確率空間確率が定義されています。

続いて、確率変数が定義されます。確率変数は高校以来、いまだによくわかっていないです…。

なお、コルモゴロフによる確率の定義の易しい形 *2数学ガール乱択アルゴリズム第4章に書かれています。

*1:「同様に確からしい」を初めて聞いたのは、小学生のときに見た「平成教育委員会」だったことをはっきり覚えています。

*2:可算加法性というより、有限加法性で書かれている。