7931のあたまんなか

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フーリエ変換は L^2(R) のユニタリ変換/『数学セミナー 2018年3月号』読書メモ その5

数学セミナー 2018年3月号』特集「フーリエ解析ことはじめ」

これまでの4回のまとめで、(1変数関数の)フーリエ変換の定義とたたみ込みの関係までをまとめました。

wed7931.hatenablog.com

今回はフーリエ変換の基本的性質と急減少関数についてのまとめです。特集内の記事「駆け足で巡るフーリエ変換の後半部分に当たります。

フーリエ変換の定義(おさらい)

前回の記事にも書きましたが、フーリエ変換の定義のおさらいです。

 f(t) を無限区間  ( - \infty, + \infty) 上の絶対可積分な関数とします。

 f(t)フーリエ変換 \displaystyle \hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \xi t} dt \ (\xi \in \mathbb{R}) で定義します。  \hat{f} (f)\hat{} と書く場合もあります。

また、フーリエ変換の“逆”に相当する式  \displaystyle f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{f}(\xi) e^{i \xi x} d \xi \ (x \in \mathbb{R}) フーリエ変換反転公式と呼びます。

フーリエ変換の基本的な性質

上と同じく、  f(t) を無限区間  ( - \infty, + \infty) 上の絶対可積分な関数とすると、次が成り立ちます。*1

  1.  \hat{f} (\xi)有界かつ連続な関数である。
  2.  f_{a}(t) := f(t+a) \ (a \in \mathbb{R}) とすると、  (f_{a})\hat{}(\xi) = e^{ia \xi} \hat{f} (\xi), \ (e^{iat} f) \hat{} (\xi) = \hat{f} (\xi -a)
  3.  f^{\delta}(t) := f(\delta t) \ (\delta > 0) とすると、  (f^{\delta})\hat{}(\xi) = \delta^{-1} \hat{f} (\delta^{-1} t)
  4.  f(t)微分可能で導関数  f'(t) も絶対可積分ならば、  (f')\hat{}(\xi) = i \xi \hat{f} (\xi)
  5.  tf(t) が絶対可積分ならば、 \hat{f}(\xi)微分可能で、  (tf)\hat{}(\xi) = i (\hat{f})' (\xi)

反転公式が成り立つ関数として急減少関数を導入する

どのような関数についても、フーリエ変換反転公式は成り立つとは限りません*2

次の2つの条件を満たす可積分関数  f(t) では、反転公式が成立します。*3

  •  f(t) C^{\infty} 級である。
  • 各階の導関数  f^{(n)}(t) \ (n=0,1,2, \cdots) が、任意の非負整数  N に対して  \lim_{t \to \pm \infty} |t|^{N} f^{(n)} (t) = 0 を満たす。

このような関数全体を  \mathscr{S} (\mathbb{R}) と表し、急減少関数の空間と呼びます。*4

また、  f \in \mathscr{S} (\mathbb{R}) ならば  \hat{f} \in \mathscr{S} (\mathbb{R}) であることが知られています。*5

フーリエ変換のもうひとつの流儀

冒頭で説明したフーリエ変換  \hat{f} を定数  \sqrt{2 \pi} で割ったフーリエ変換の流儀  \mathscr{F} f もあります: \displaystyle \mathscr{F} f (\xi) :=  \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \xi t} dt

この場合の反転公式は  \displaystyle f (x) =  \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathscr{F} f(\xi) e^{i \xi x} d \xi となります。

以降の内容は  \mathscr{F} f の流儀で書くと非常にきれいなので、この流儀で進めます。*6

フーリエ変換 L^2(\mathbb{R}) のユニタリ変換

 f \in \mathscr{S}(\mathbb{R}) に対して、プランシュレルの定理  \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{+\infty} |\mathscr{F} f(\xi)|^2 d \xi が成り立ちます。

そして、パーセヴァルの等式  \displaystyle  \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \overline{g(t)} dt = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathscr{F} f(\xi) \overline{\mathscr{F} g(\xi)} d \xi が得られます。 *7 *8

ここで、区間  (-\infty,+\infty) 上の2乗可積分な関数の全体を  L^2(\mathbb{R}) で表します。つまり、  L^2(\mathbb{R}) \displaystyle  \|f\|^2 := \int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)|^2 dt < \infty となる関数  f(t) 全体です。

 L^2(\mathbb{R}) には、上で定義したノルム  \| \cdot \| が入ります *9

プランシュレルの定理が  \| \mathscr{F} f \| = \| f \| と書けることを考えると、フーリエ変換  \mathscr{F} L^2(\mathbb{R}) 上の等長写像に拡張できると言えます。

さらに  \mathscr{F}全射であることが知られているので、フーリエ変換  \mathscr{F} L^2(\mathbb{R}) におけるユニタリ変換であることがわかります。

ポイントは以下の点です。

  • 一般の  f \in L^2(\mathbb{R}) は必ずしも絶対可積分ではないので、フーリエ変換  \mathscr{F} f積分の形で書くことはできない。
  • しかし、  f に収束する関数列  \{ f_N \} で各  f_N が絶対可積分になるものを取ると、  \mathscr{F} f_N は絶対収束する積分の形で書ける。*10
  • したがって、  \mathscr{F} f(\xi) \mathscr{F} f_N(\xi) L^2(\mathbb{R}) における極限となり、  \mathscr{F} f を得ることができる。

おわりに

この記事の最後には  L^2(\mathbb{R}) の正規直交系をなすエルミート関数について書かれています。これはフーリエ変換の固有関数になっています。

また、フーリエ変換直交変換不変性球面調和関数に関する記述もあります。

次回は、特集内の最後の記事である「超関数とフーリエ変換をまとめる予定です。トピックは以下のとおりです。

*1:各性質の証明は本文にあります。

*2:本文で挙げられている反転公式が成り立たない例:  f(t) = 1/2 \ (|t| \le 1), \ 0 \ (|t| > 1)

*3:証明は本文にあります。

*4:シュワルツ空間とも呼ばれます。

*5:証明は次の記事「超関数とフーリエ変換」にあります。

*6:本文では  \hat{f} を使った計算や定理が書かれていますが、この記事では  \mathscr{F} f にまとめます。

*7:プランシュレルの定理の証明は本文参照。パーセヴァルの等式は  \alpha \bar{\beta} = \frac{1}{4} (|\alpha+\beta|^2 - |\alpha-\beta|^2 + i |\alpha+i\beta|^2   i |\alpha-i\beta|^2 ) から得られます。

*8:フーリエ級数のパーセヴァルの等式は前々回のまとめで記載しました。 → フーリエ級数の3つの解釈/『数学セミナー 2018年3月号』読書メモ その3 - 7931のあたまんなか

*9:厳密には  L^2(\mathbb{R}) \|f\|=0 なる関数全体で割った同値類であることが、本文で注釈されています。

*10:本文に書かれている  f_N \ (N=1,2,\cdots) の例: f_N(t) = f(t) \ (|t| \le N), \ 0 \ (|t| > N)