フーリエ変換は L^2(R) のユニタリ変換／『数学セミナー 2018年3月号』読書メモその5

『数学セミナー 2018年3月号』の特集「フーリエ解析ことはじめ」。

数学セミナー 2018年 03 月号 [雑誌]

出版社/メーカー: 日本評論社
発売日: 2018/02/10
メディア: 雑誌
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これまでの4回のまとめで、（1変数関数の）フーリエ変換の定義とたたみ込みの関係までをまとめました。

wed7931.hatenablog.com

今回はフーリエ変換の基本的性質と急減少関数についてのまとめです。特集内の記事「駆け足で巡るフーリエ変換」の後半部分に当たります。

フーリエ変換の定義（おさらい）

前回の記事にも書きましたが、フーリエ変換の定義のおさらいです。

$f(t)$ を無限区間 $( - \infty, + \infty)$ 上の絶対可積分な関数とします。

$f(t)$ のフーリエ変換を $\displaystyle \hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \xi t} dt \ (\xi \in \mathbb{R})$ で定義します。 $\hat{f}$ を $(f)\hat{}$ と書く場合もあります。

また、フーリエ変換の“逆”に相当する式 $\displaystyle f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{f}(\xi) e^{i \xi x} d \xi \ (x \in \mathbb{R})$ をフーリエ変換の反転公式と呼びます。

フーリエ変換の基本的な性質

上と同じく、 $f(t)$ を無限区間 $( - \infty, + \infty)$ 上の絶対可積分な関数とすると、次が成り立ちます。*1

$\hat{f} (\xi)$ は有界かつ連続な関数である。
$f_{a}(t) := f(t+a) \ (a \in \mathbb{R})$ とすると、 $(f_{a})\hat{}(\xi) = e^{ia \xi} \hat{f} (\xi), \ (e^{iat} f) \hat{} (\xi) = \hat{f} (\xi -a)$ 。
$f^{\delta}(t) := f(\delta t) \ (\delta > 0)$ とすると、 $(f^{\delta})\hat{}(\xi) = \delta^{-1} \hat{f} (\delta^{-1} t)$ 。
$f(t)$ が微分可能で導関数 $f'(t)$ も絶対可積分ならば、 $(f')\hat{}(\xi) = i \xi \hat{f} (\xi)$ 。
$tf(t)$ が絶対可積分ならば、 $\hat{f}(\xi)$ は微分可能で、 $(tf)\hat{}(\xi) = i (\hat{f})' (\xi)$ 。

反転公式が成り立つ関数として急減少関数を導入する

どのような関数についても、フーリエ変換の反転公式は成り立つとは限りません。*2

次の2つの条件を満たす可積分関数 $f(t)$ では、反転公式が成立します。*3

$f(t)$ が $C^{\infty}$ 級である。
各階の導関数 $f^{(n)}(t) \ (n=0,1,2, \cdots)$ が、任意の非負整数 $N$ に対して $\lim_{t \to \pm \infty} |t|^{N} f^{(n)} (t) = 0$ を満たす。

このような関数全体を $\mathscr{S} (\mathbb{R})$ と表し、急減少関数の空間と呼びます。*4

また、 $f \in \mathscr{S} (\mathbb{R})$ ならば $\hat{f} \in \mathscr{S} (\mathbb{R})$ であることが知られています。*5

フーリエ変換のもうひとつの流儀

冒頭で説明したフーリエ変換 $\hat{f}$ を定数 $\sqrt{2 \pi}$ で割ったフーリエ変換の流儀 $\mathscr{F} f$ もあります： $\displaystyle \mathscr{F} f (\xi) := \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \xi t} dt$ 。

この場合の反転公式は $\displaystyle f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathscr{F} f(\xi) e^{i \xi x} d \xi$ となります。

以降の内容は $\mathscr{F} f$ の流儀で書くと非常にきれいなので、この流儀で進めます。*6

フーリエ変換は $L^2(\mathbb{R})$ のユニタリ変換

$f \in \mathscr{S}(\mathbb{R})$ に対して、プランシュレルの定理 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{+\infty} |\mathscr{F} f(\xi)|^2 d \xi$ が成り立ちます。

そして、パーセヴァルの等式 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \overline{g(t)} dt = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathscr{F} f(\xi) \overline{\mathscr{F} g(\xi)} d \xi$ が得られます。 *7 *8

ここで、区間 $(-\infty,+\infty)$ 上の2乗可積分な関数の全体を $L^2(\mathbb{R})$ で表します。つまり、 $L^2(\mathbb{R})$ は $\displaystyle \|f\|^2 := \int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)|^2 dt < \infty$ となる関数 $f(t)$ 全体です。

$L^2(\mathbb{R})$ には、上で定義したノルム $\| \cdot \|$ が入ります *9 。

プランシュレルの定理が $\| \mathscr{F} f \| = \| f \|$ と書けることを考えると、フーリエ変換 $\mathscr{F}$ が $L^2(\mathbb{R})$ 上の等長写像に拡張できると言えます。

さらに $\mathscr{F}$ は全射であることが知られているので、フーリエ変換 $\mathscr{F}$ は $L^2(\mathbb{R})$ におけるユニタリ変換であることがわかります。

ポイントは以下の点です。

一般の $f \in L^2(\mathbb{R})$ は必ずしも絶対可積分ではないので、フーリエ変換 $\mathscr{F} f$ を積分の形で書くことはできない。
しかし、 $f$ に収束する関数列 $\{ f_N \}$ で各 $f_N$ が絶対可積分になるものを取ると、 $\mathscr{F} f_N$ は絶対収束する積分の形で書ける。*10
したがって、 $\mathscr{F} f(\xi)$ は $\mathscr{F} f_N(\xi)$ の $L^2(\mathbb{R})$ における極限となり、 $\mathscr{F} f$ を得ることができる。

おわりに

この記事の最後には $L^2(\mathbb{R})$ の正規直交系をなすエルミート関数について書かれています。これはフーリエ変換の固有関数になっています。

また、フーリエ変換の直交変換不変性や球面調和関数に関する記述もあります。

次回は、特集内の最後の記事である「超関数とフーリエ変換」をまとめる予定です。トピックは以下のとおりです。

多変数関数のフーリエ変換と急減少関数
緩増加超関数とそのフーリエ変換
方程式 $\Delta u = -f$ の解（分数べき積分）

*1:各性質の証明は本文にあります。

*2:本文で挙げられている反転公式が成り立たない例： $f(t) = 1/2 \ (|t| \le 1), \ 0 \ (|t| > 1)$

*3:証明は本文にあります。

*4:シュワルツ空間とも呼ばれます。

*5:証明は次の記事「超関数とフーリエ変換」にあります。

*6:本文では $\hat{f}$ を使った計算や定理が書かれていますが、この記事では $\mathscr{F} f$ にまとめます。

*7:プランシュレルの定理の証明は本文参照。パーセヴァルの等式は $\alpha \bar{\beta} = \frac{1}{4} (|\alpha+\beta|^2 - |\alpha-\beta|^2 + i |\alpha+i\beta|^2 i |\alpha-i\beta|^2 )$ から得られます。