2乗すると -I になる行列～『数学ガールの秘密ノート／行列が描くもの』読書メモ

『数学ガールの秘密ノート／行列が描くもの』を読みました。

数学ガールの秘密ノート/行列が描くもの

作者: 結城浩
出版社/メーカー: SBクリエイティブ
発売日: 2018/10/17
メディア: 単行本
この商品を含むブログ (1件) を見る

次の記事にも書きましたが、大学で線形代数を学ぶ人にとっては絶好の入門書です。

wed7931.hatenablog.com

この本の第3章では、実数を成分にもつ2×2行列で2乗して $-I$ （ $I$ は単位行列）になる虚数単位のような行列 $J$ について書かれています。

このような行列について、いろいろと自由に考えたことをまとめておきます。 *1

行列 $J$ の成分表示

このような行列 $J$ の成分表示について、119ページに以下のように書かれています。

解答3-1 （虚数単位 $i$ に類似した行列）
成分がすべて実数の2×2行列 $J$ で、 $a$ を実数、 $b$ を0以外の実数として、 $J= \begin{pmatrix} a & b \\ -\frac{a^2 + 1}{b} & -a \end{pmatrix}$ とすれば、 $J^2 = -I$ を満たす。ただし、 $I= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ とする。

証明は3.8節にあります。

$J$ を累乗すると、 $J^0 = I, \ J^1=J, \ J^2=-I, \ J^3=-J, \ J^4=I$ となり、確かに虚数単位に似ています。

$a=0, \ b=-1$ とすると、 $J$ は $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ （以下、この行列を $J_0$ と置きます）と書けます。

$a, \ b$ に他の値を代入してみる。

$a=1, \ b=1$ を代入すると、 $J$ は $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$ と書けます。 *2

この行列を $I$ と $J_0$ の一次結合で書けないかを考えてみました。

つまり、 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} = pI + q J_0$ となる実数 $p, q$ が存在するかを調べます。

右辺を具体的に成分表示して比較すると、このような $p, q$ が存在しないことがわかります。

一方、 $J_0 = 0 \cdot I + 1 \cdot J_0$ が成り立ちます。

ということは、 $a, \ b$ の値によっては $J$ が $I$ と $J_0$ の一次結合で書けない場合があることがわかります。 *3

それでは、 $I$ と $J_0$ の一次結合で書ける $J$ はどのようなものでしょうか。

$I$ と $J_0$ は一次独立か？

その前に、 $I$ と $J_0$ は一次独立かを調べてみます。 *4

実数 $p, \ q$ について、 $(*) \ pI + q J_0 = O$ であるとします。

行列成分を書き下して連立方程式を解く証明方法もありますが、ここでは行列成分に頼らない方法で証明します。 *5

$(*)$ に $J_0$ を掛けて両辺を -1 倍すると、 $(**) \ qI - pJ_0 = O$ となります。

$(*) \times q - (**) \times p$ を計算すると、 $(p^2 + q^2) J_0 = O$ 。

両辺に $-J_0$ を掛けると $(p^2 + q^2) I = O$ で、 $p^2 + q^2 = 0$ から $p=q=0$ が得られます。

したがって、 $I$ と $J_0$ は一次独立であることがわかりました。 *6

$I$ と $J_0$ の一次結合で書ける $J$

元の話に戻って、 $I$ と $J_0$ の一次結合で書ける $J$ がどのようなものかを考えてみます。

$J = \begin{pmatrix} a & b \\ -\frac{a^2 + 1}{b} & -a \end{pmatrix}$ （ $a, \ b$ は実数で $b \neq 0$ ）として、実数 $p, \ q$ を使って $J=pI + q J_0$ と書けたとします。

行列成分で書き下して計算すると、 $(a,b,p,q) = (0, \pm 1 , 0 , \mp 1)$ のとき、つまり $J = \pm J_0$ のときに限ることがわかります。 *7

おわりに

この記事では一次結合という視点で $I$ と $J$ を見てみました。

他にどのような視点での考察があるか。時間があれば調べてみようと思います。

*1:研究問題 3-X1を解いている形です。

*2:研究問題 4-X5では、 $a=1, \ b=1$ を代入してみよという問題が提示されています。

*3: $J$ の一般形に2乗や分数があることから、もっとスマートに言えるかもしれません。

*4:研究問題 3-X6に提示されています。

*5:つまり、一般の $n \times n$ 行列で使える方法です。

*6:一般の $J$ についても、 $I$ と $J$ が一次独立であることがわかります（ $b \neq 0$ に注意して計算する）。したがって、2×2の実行列全体のベクトル空間 $M_2(\mathbb{R})$ の中の $I$ と $J$ が張る部分空間 $\mathrm{Span}_{\mathbb{R}}(I, J)$ は2次元です。