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射影表現と表現群～『表現論入門セミナー』読書メモその2

数学表現論読書メモ

『表現論入門セミナー―具体例から最先端に向かって』の読書メモ第2回です。

表現論入門セミナー―具体例から最先端にむかって

表現論入門セミナー―具体例から最先端にむかって

作者: 平井武,山下博
出版社/メーカー: 遊星社
発売日: 2003/11/01
メディア: 単行本
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いろいろな表現（§1.2）

群 $G$ のいろいろな表現が、誕生した経緯とともに説明されている。

置換表現

有限群 $G$ の置換表現とは、 $G$ から $n$ 次対称群 $\mathfrak{S}_n$ への準同型のことをいう。

線形表現

ベクトル空間 $W$ 上の可逆な線形変換全体がなす群を $\mathrm{GL}(W)$ と書く。
$W= \mathbb{C}^d$ のときは $\mathrm{GL}(d, \mathbb{C})$ と書き、これは正則な $d$ 次正方行列全体である。

群 $G$ の線形表現とは、準同型 $\pi : G \to \mathrm{GL}(W)$ のことをいう。

線形表現の指標

線形表現 $\pi$ の指標 $\chi_{\pi}$ は、各 $g \in G$ で $\chi_{\pi}(g) = \mathrm{tr}( \pi (g)) \in \mathbb{C}$ で定義される。これは $G$ の1次元表現になる。

分数変換と表現

$m$ 次正方行列 $A = (a_{ij}) \in M_m(\mathbb{C})$ に対して、分数変換 $P_A : \mathbb{C}^{m-1} \to \mathbb{C}^{m-1}$ を次のように定義する：

$x := (x_i) \in \mathbb{C}^{m-1}$ に対して、 $P_A (x) \in \mathbb{C}^{m-1}$ の第 $i$ 成分が $\displaystyle x_i ' = \frac{ \sum_{k=1}^{m-1} a_{ik}x_{k} + a_{im}}{\sum_{k=1}^{m-1} a_{mk}x_{k} + a_{mm}}$ $( 1 \le i \le m-1)$ と書かれる。

ここで、 $P_{\lambda A} = P_A , \ P_A \cdot P_B = P_{AB} , \ P_A^{ \ -1} = P_{A^{-1}}$ $(A, B \in \mathrm{GL}(m, \mathbb{C}), \ \lambda \in \mathbb{C}^{\times})$ に注意する。

すると、 $P_{\bullet}$ は $\mathrm{GL}(m, \mathbb{C})$ の表現に見える。これが $(m-1)$ 次元の複素射影空間上の表現になるようだ。 *1

射影表現

有限群 $G$ の射影表現 $\Pi$ とは、 $g \in G$ に $\Pi (g) \in \mathrm{GL}(m, \mathbb{C})$ を対応させて、 $\Pi(g) \Pi(h) = r_{g,h} \Pi (gh)$ $(g, h \in G, \ r_{g,h} \in \mathbb{C}^{\times})$ を満たすものをいう。

線形表現は射影表現の特別な場合

スカラー $r_{g,h}$ が常に1 （つまり $r_{g,h} \equiv 1$ ）の場合は、 $\Pi$ は線形表現になる。

射影線形群

$\mathrm{GL}(m, \mathbb{C})$ の中心（すべての元と可換な元）は $\{ \lambda 1_m \ | \ \lambda \in \mathbb{C}^{\times} \} \simeq \mathbb{C}^{\times}$ となる。

$\mathrm{PGL} (m, \mathbb{C}) := \mathrm{GL}(m, \mathbb{C}) / \mathbb{C}^{\times}$ を射影線形群と呼ぶ。

射影表現の別の見方

以上により、射影表現 $\Pi$ は $G$ から $\mathrm{PGL} (m, \mathbb{C})$ への準同型と言える。 *2

射影表現を線形表現に直せるか？

表現論で最も重要な数学者であるシューア *3 が考えたのは、「任意の射影表現をスカラー倍で修正して、線形表現に直せるか？」ということだったという。

つまり、射影表現 $\Pi$ について、 $\Pi (g)$ を $\lambda_{g} \Pi(g) \ (\lambda_{g} \neq 0)$ に置き換えて線形表現が得られるかということである。

この答えを、中心拡大という概念を使って得た。

中心拡大

群 $\widetilde{G}$ が有限群 $G$ の中心拡大であることを次のように定義する：

全射準同型 $\phi : \widetilde{G} \to G$ で、 $Z := \mathrm{Ker} \ \phi$ が $\widetilde{G}$ の中心に入るものが存在する。（言い換えると、 $Z$ の元はすべての $\widetilde{G}$ の元と可換である。）

シューアの問題の答え

有限群 $G$ の適当な中心拡大 $\widetilde{G}$ を取れば、 $G$ の任意の射影表現が $\widetilde{G}$ の線形表現になる。

中心拡大について言えること

準同型定理から、 $\widetilde{G} / Z \simeq G$ 。

群準同型の図式は完全であるともいえる。
- 完全であるとは、準同型 $f_i$ たちについて、 $\mathrm{Im} \ f_{i-1} = \mathrm{Ker} \ f_i \ (\forall \ i)$ を満たすことをいう。 *4

表現群

中心拡大のうちで最も‘効率的’なものはすべて有限群で、同型を除いて有限個のみであることが知られている。

これを $G$ の表現群という。

表現群の具体例

$n$ 次対称群と交代群の表現群は§1.2.4～§1.3.2で説明されている。

*1: $x_i'$ の定義の分母が0になるときの対処に関係する。

*2:定数倍を同一視している形なので、まさに「射影」という言葉がぴったりだと思った。

*3:本書では、「シュア」と綴っている。

*4:『数学セミナー 2018年11月号』 P76で完全系列について言及されている。（連載「双対と表現」第2回）