特集「おおきな数」～『数学セミナー2019年7月号』読書メモ

『数学セミナー 2019年7月号』の特集は「おおきな数」です。

数学セミナー 2019年 07 月号 [雑誌]

「大きな数」に，人々はどうかかわってきたか

前半は、（小さい／大きいに限らず）人が数とどうかかわってきたかが書かれています。
後半は、天文学的数やアッケルマン関数（アッカーマン関数）といった巨大な数の説明です。

9ページに書かれている「『天文学的数』よりも今は『組合せ論的な数』のほうが大きいものが知られてい」るという指摘に、なるほど！と思いました。

億が兆より大きい？ － 大きな数の命名をめぐって *1

この記事の筆者は歴史学者の方で、「億」「兆」や「million」などの東アジアや西洋での数の命名法を歴史的見地から解説しています。

中国では、タイトルにあるとおりに「億が兆より大きい」とする記数法が100年ほど前まであり、これで書かれた文書が残されているようです。

グラハム数，ラムゼー理論，そして，役に立たない定数時間アルゴリズム

まず、記事の中盤に書かれているラムゼー理論における典型的な定理の主張を引用します。

大きな対象を定数個の部分に分解すると，その中のある部分には必ず規則的な構造が現れる．（19ページより引用）

この例として、以下のようなものが挙げられています。

• グラハム数 および グラハム・ロスチャイルドの定理
  • 超立方体の2頂点を結ぶ線分の色分け問題における、ある数の評価に関連している。
• ファン・デル・ヴェルデンの定理
  • 主張：十分大きな自然数 n に対して、集合 {1, 2, 3, ..., n} をある個数に分割したとき、ある部分には必ず等差数列が含まれる。
• セメレディの定理
  • ファン・デル・ヴェルデンの定理を含む定理。
  • 本文の説明を借りると、ファン・デル・ヴェルデンの定理の密度版。

アッカーマン関数とヒルベルト

アッカーマン関数は、この連載の最初の記事で漸化式の形で定義されています。これを再帰という概念を使って再構成しています。

記事の中盤では、再帰と関係の深い順序数の観点で、アッカーマン関数を見直しています。

後半では、アッカーマン関数が現れる数学の例として、代数学におけるネーター性とヒルベルトの基底定理 *2 が説明されています。
この議論の中で、ヒルベルトの基底定理に似た計算量の問題が出てくるのが印象的です。

巨大数の世界

ふぃっしゅ数と呼ばれる巨大数を考案したふぃっしゅさん ( ふぃっしゅっしゅ 🐟🐠 (@kyodaisuu) | Twitter ) による記事です。

「関数を強化する装置を作る→その装置をさらに強化する装置を作る→…」という考えで、巨大数を構築しています。その中で順序数や計算可能性理論などの“本格的な”数学を使うことになるそうです。

最も興味深かったのは、このような巨大数が世界中にいるアマチュア数学愛好者の中から生まれ続けているという点です。
アマチュア数学愛好者の1人として、とても楽しい活動だろうというのは手に取るように想像できます！

無限の数 － 順序数・基数・巨大基数

集合論で扱われる巨大基数について、整列集合や順序数、可算性、連続体仮説などの準備をしながら説明をしています。

この中で印象的だったのは、測度論との関係が出てきているという点です。
測度論がσ-加法性のような集合論の言葉がベースに構成されることを考えると自然なことですが、自分の中ではそれらがうまく結びついていなかったので、よい復習になりました。 *3

参考資料

セメレディの定理

連載内の3本目の記事に出てくるセメレディの定理は、以下のブログ記事で詳しく扱われています。
integers.hatenablog.com

順序、可算性、再帰など

教科書としては、『集合・位相入門』（松坂和夫）が有名です。

集合・位相入門

再帰性については、『数学ガール／ゲーデルの不完全性定理』（結城浩）でも扱われています。

数学ガール/ゲーデルの不完全性定理 (数学ガールシリーズ 3)

巨大数論

連載内の5本目の記事を書いたふぃっしゅさんの著書です。PDF版が無料で読めますが、内容が濃く、無料とは思えないクオリティです！
gyafun.jp

*1:個人的には、本題とは外れますが、記事内で示されている19世紀の日本の英和辞典の写真にも、心が惹かれました。

*2:ヒルベルトの基底定理：体上の多変数多項式環の任意のイデアルは有限生成である。（体より広く、可換ネーター環でもよい。）

*3:σ-加法性は、新井仁之『ルベーグ積分講義』の読書メモとして、私のブログの中でも扱っています。また、34ページに出てくる完全集合は、『ルベーグ積分講義』の178ページに出てきます。 wed7931.hatenablog.com