7931のあたまんなか

テーマ:数学/読書メモ/自分の考え方/水曜どうでしょう/交通関係(道路・航空)など。うつと生きる30代後半の男です。

フーリエ変換は L^2(R) のユニタリ変換/『数学セミナー 2018年3月号』読書メモ その5

数学セミナー 2018年3月号』特集「フーリエ解析ことはじめ」

これまでの4回のまとめで、(1変数関数の)フーリエ変換の定義とたたみ込みの関係までをまとめました。

wed7931.hatenablog.com

今回はフーリエ変換の基本的性質と急減少関数についてのまとめです。特集内の記事「駆け足で巡るフーリエ変換の後半部分に当たります。

フーリエ変換の定義(おさらい)

前回の記事にも書きましたが、フーリエ変換の定義のおさらいです。

 f(t) を無限区間  ( - \infty, + \infty) 上の絶対可積分な関数とします。

 f(t)フーリエ変換 \displaystyle \hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \xi t} dt \ (\xi \in \mathbb{R}) で定義します。  \hat{f} (f)\hat{} と書く場合もあります。

また、フーリエ変換の“逆”に相当する式  \displaystyle f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{f}(\xi) e^{i \xi x} d \xi \ (x \in \mathbb{R}) フーリエ変換反転公式と呼びます。

フーリエ変換の基本的な性質

上と同じく、  f(t) を無限区間  ( - \infty, + \infty) 上の絶対可積分な関数とすると、次が成り立ちます。*1

  1.  \hat{f} (\xi)有界かつ連続な関数である。
  2.  f_{a}(t) := f(t+a) \ (a \in \mathbb{R}) とすると、  (f_{a})\hat{}(\xi) = e^{ia \xi} \hat{f} (\xi), \ (e^{iat} f) \hat{} (\xi) = \hat{f} (\xi -a)
  3.  f^{\delta}(t) := f(\delta t) \ (\delta > 0) とすると、  (f^{\delta})\hat{}(\xi) = \delta^{-1} \hat{f} (\delta^{-1} t)
  4.  f(t)微分可能で導関数  f'(t) も絶対可積分ならば、  (f')\hat{}(\xi) = i \xi \hat{f} (\xi)
  5.  tf(t) が絶対可積分ならば、 \hat{f}(\xi)微分可能で、  (tf)\hat{}(\xi) = i (\hat{f})' (\xi)

反転公式が成り立つ関数として急減少関数を導入する

どのような関数についても、フーリエ変換反転公式は成り立つとは限りません*2

次の2つの条件を満たす可積分関数  f(t) では、反転公式が成立します。*3

  •  f(t) C^{\infty} 級である。
  • 各階の導関数  f^{(n)}(t) \ (n=0,1,2, \cdots) が、任意の非負整数  N に対して  \lim_{t \to \pm \infty} |t|^{N} f^{(n)} (t) = 0 を満たす。

このような関数全体を  \mathscr{S} (\mathbb{R}) と表し、急減少関数の空間と呼びます。*4

また、  f \in \mathscr{S} (\mathbb{R}) ならば  \hat{f} \in \mathscr{S} (\mathbb{R}) であることが知られています。*5

フーリエ変換のもうひとつの流儀

冒頭で説明したフーリエ変換  \hat{f} を定数  \sqrt{2 \pi} で割ったフーリエ変換の流儀  \mathscr{F} f もあります: \displaystyle \mathscr{F} f (\xi) :=  \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \xi t} dt

この場合の反転公式は  \displaystyle f (x) =  \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathscr{F} f(\xi) e^{i \xi x} d \xi となります。

以降の内容は  \mathscr{F} f の流儀で書くと非常にきれいなので、この流儀で進めます。*6

フーリエ変換 L^2(\mathbb{R}) のユニタリ変換

 f \in \mathscr{S}(\mathbb{R}) に対して、プランシュレルの定理  \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{+\infty} |\mathscr{F} f(\xi)|^2 d \xi が成り立ちます。

そして、パーセヴァルの等式  \displaystyle  \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \overline{g(t)} dt = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathscr{F} f(\xi) \overline{\mathscr{F} g(\xi)} d \xi が得られます。 *7 *8

ここで、区間  (-\infty,+\infty) 上の2乗可積分な関数の全体を  L^2(\mathbb{R}) で表します。つまり、  L^2(\mathbb{R}) \displaystyle  \|f\|^2 := \int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)|^2 dt < \infty となる関数  f(t) 全体です。

 L^2(\mathbb{R}) には、上で定義したノルム  \| \cdot \| が入ります *9

プランシュレルの定理が  \| \mathscr{F} f \| = \| f \| と書けることを考えると、フーリエ変換  \mathscr{F} L^2(\mathbb{R}) 上の等長写像に拡張できると言えます。

さらに  \mathscr{F}全射であることが知られているので、フーリエ変換  \mathscr{F} L^2(\mathbb{R}) におけるユニタリ変換であることがわかります。

ポイントは以下の点です。

  • 一般の  f \in L^2(\mathbb{R}) は必ずしも絶対可積分ではないので、フーリエ変換  \mathscr{F} f積分の形で書くことはできない。
  • しかし、  f に収束する関数列  \{ f_N \} で各  f_N が絶対可積分になるものを取ると、  \mathscr{F} f_N は絶対収束する積分の形で書ける。*10
  • したがって、  \mathscr{F} f(\xi) \mathscr{F} f_N(\xi) L^2(\mathbb{R}) における極限となり、  \mathscr{F} f を得ることができる。

おわりに

この記事の最後には  L^2(\mathbb{R}) の正規直交系をなすエルミート関数について書かれています。これはフーリエ変換の固有関数になっています。

また、フーリエ変換直交変換不変性球面調和関数に関する記述もあります。

次回は、特集内の最後の記事である「超関数とフーリエ変換をまとめる予定です。トピックは以下のとおりです。

*1:各性質の証明は本文にあります。

*2:本文で挙げられている反転公式が成り立たない例:  f(t) = 1/2 \ (|t| \le 1), \ 0 \ (|t| > 1)

*3:証明は本文にあります。

*4:シュワルツ空間とも呼ばれます。

*5:証明は次の記事「超関数とフーリエ変換」にあります。

*6:本文では  \hat{f} を使った計算や定理が書かれていますが、この記事では  \mathscr{F} f にまとめます。

*7:プランシュレルの定理の証明は本文参照。パーセヴァルの等式は  \alpha \bar{\beta} = \frac{1}{4} (|\alpha+\beta|^2 - |\alpha-\beta|^2 + i |\alpha+i\beta|^2   i |\alpha-i\beta|^2 ) から得られます。

*8:フーリエ級数のパーセヴァルの等式は前々回のまとめで記載しました。 → フーリエ級数の3つの解釈/『数学セミナー 2018年3月号』読書メモ その3 - 7931のあたまんなか

*9:厳密には  L^2(\mathbb{R}) \|f\|=0 なる関数全体で割った同値類であることが、本文で注釈されています。

*10:本文に書かれている  f_N \ (N=1,2,\cdots) の例: f_N(t) = f(t) \ (|t| \le N), \ 0 \ (|t| > N)

連載「試験のゆめ・数理のうつつ」 ~ 『数学セミナー』読書メモ

数学セミナー』では、2017年4月号から、時枝正さんによる「試験のゆめ・数理のうつつ」が連載されています。

いろいろな分野の重要定理やそれを使った問題を俯瞰できる連載で、とても気に入っています。
各月でどのような内容が紹介されているかを記録するのが、この記事の目的です。

この連載の概要

ケンブリッジ大学の数学専攻の試験にトライポスというものがあります。

この連載では、各月のテーマごとにトライポスの雰囲気を感じられる問題が紹介されています。

各月で紹介される問題は10問前後で、簡潔な解答がつけられています。

複数分野が融合された問題も見られ、意外な発見があるのが楽しみです。

【第1回 - 2017年4月号】ケンブリッヂの入試

イントロダクションとして、ケンブリッジの数学専攻に入るための口頭試験のサンプル問題が紹介されています。

「口頭」と言いながらも、このような試験のようです。

座るやいなや,問題を与える.「口頭」とは名ばかり,その場でペンと紙をどしどし使わせ,つまづくようす,解くようす,あきらめるようす,巻き返すようす,を観察する.すぐ解けるようなら問題を難しくし,なかなか解けぬようなら易しくし,初めの2~3分でその人がこなせるぎりぎりの水準を探り当て,30分間6つ~7つ問題をやらせるのである.
(『数学セミナー 2017年4月号』45ページより引用)

紹介されている12問から2問を引用します。

問3 100! のしっぽにはいくつ 0 が連なるか?

問6 すべすべな面に静止したおはじきAに,同質量のおはじきBをぶつけると,散乱角は 90° になる.これを導け.正面衝突させると何がおこるか?

【第2回 - 2017年5月号】確率:逆説あれこれ,条件付けて考える

一般的な確率の問題から、標本調査、ベイズ統計、条件付確率/期待値、幾何確率、積分確率などに関する問題が紹介されています。

印象的だったものは、 調和平均 ≦ 幾何平均 ≦ 算術平均 の関係を確率論的にとらえた問題(題5)です。

確率や期待値を積分を使って評価する問題もいくつかあります。
あまりやったことがないので、とても新鮮に見えました。

【第3回 - 2017年6月号】力学:保存量やりとり,次元解析

運動量、遠心力、ケプラーの三法則、エネルギーなど、数学というより物理の内容です。

高校物理+αしか学んでいない私にとって、新鮮味がある問題ばかりでした。

例えば、こんな問題。

題5 片面バターを塗ったトーストがテーブルの縁から落ちると,えてしてバター面がうつぶせに着地しますよね.くるりとフル回転してあおむけに着地させるためにはテーブルの高さを何倍にすべきか?即答しなさい.

題8 川床にグラフ B=B(x) で与えられるこぶを築いたとき,川面の高低はどう変わるか?

【第4回 - 2017年7月号】群:対称性をみぬき,作用してほぐす

タイトルにあるとおり、群の作用に着目した問題が紹介されています。

問題に対する解答の帰結として、基本群の例やフェルマーの小定理が得られる問題もあります。

考えたことがなかった!と思ったのが、次の2つの問題です。

題7 群から2元をランダムに抽出したとき,それらが可換な確率は何か?

(題8の後に書かれた内容の抜粋)
群,群というけれど,群ってありふれた存在なのでしょうか?それとも稀なのかな?
定理 位数 n の群の数は高々  n!^{\log_2 n} である。
―結合律はかくも厳しい要請なのであった。

【第5回 - 2017年8月号】1変数の微積分:テレスコープ原理,連続と離散

この回は、以下の3つの部分に分類されます。

ディガンマ関数とは、ガンマ関数の対数微分を取ったものとのこと。

ガンマ関数が乗法的とすると、ディガンマ関数は加法的と考えられ、無限級数との相性がよさそうです。

余談ですが、「連続と離散」というと、微分積分と差分・和分の関係を初めて知った数学ガール』を読んだときの衝撃が印象に残っています。

数学ガール (数学ガールシリーズ 1)

数学ガール (数学ガールシリーズ 1)

この連載と同じく『数学セミナー』で連載中の梅田亨さんの「計算するたのしみ―スターリング数のいる風景」でも、差分・和分が扱われており、いずれじっくり読んでみたいと思っています。

【第6回 - 2017年9月号】ベクトル解析:ラプラシアンの意味,球の調和場

前半は調和関数(ラプラス方程式 Δφ = 0 の解)に関する問題が紹介されています。

後半はベクトル解析を使って、重力ポテンシャルなどの話が出てきます。
(後半の内容は知識がほとんどないので、私の力では説明できません…)

調和関数は、私の修士時代の研究内容に関係してきます。
時間があれば、改めて勉強したいと思っています。

印象に残った次の問題は、複素関数論のリュウビルの定理の一般化とのこと。
具体的にどういう関係なんだろう?

題8 R^n 全体で有界な調和関数は定数である。

【第7回 - 2018年4月号】数論:素数のたちい,合同式のふるまい

6ヶ月間の休載を経て、次は素数合同式の話題です。
学部時代に勉強した内容でとても懐かしい思いがしました。

内容は次のように分類されます。

素数定理を使った次の問題が印象的です。(本文と記述は変えています)

題17 素数/素数の形の有理数全体は、正の実数全体の集合で稠密である。*3

【第8回 - 2018年5月号】微分方程式:デルタとグリーン,指数函数百面相

微分方程式の解をグリーン関数と呼ばれる関数で記述する問題などが出てきます。

グリーン関数は初めて知りました。ディラックデルタ関数で記述する関数です。

ですので、たたみ込みやフーリエ変換がからむ話も出てきます。先日書いたこの記事の続きにあたる内容です。(続きを書きたいけど、手が出てません)
wed7931.hatenablog.com

ほかにも、調和振動、強制減衰振動、うなり、共鳴、シュレディンガー方程式、特異摂動といった物理関係の話題が出てきます。

【第9回 - 2018年6月号】確率:エントロピーでえらび,母函数できわめる

前半はエントロピーと確率の関係、後半はまさに確率に関する話です。

…が、今回は畑違いすぎてお手上げです。エントロピーは学部1年の物理の講義で聞いたことがあるなぁという程度です。

解答の内容は理解できませんでしたが、おもしろそうな問題を2つ挙げておきます。

題5 塩漬・糖漬が食品を長持ちさせるのはなぜか?

題11 1990年代GPSは軍事用チャネルと民間用チャネルが併存し,米国防省はわざと雑音を混ぜて民の精度を落としていた.ところが,あっけない工夫のおかげで,民のみ受信してなお軍の精度を達成する人が続出したので,雑音を廃した,という伝説がある.どんな工夫だったでしょうか?

キーワード:ボルツマン分布、確率変数の列の収束の概念いろいろ、大数の法則中心極限定理の証明、ワイエルシュトラスの近似定理など

【第10回 - 2018年7月号】力学:まわる剛体,いたずらな接点

タイトルにあるように、剛体の力学がテーマです。

自分でも多少は理解できたので、高校程度の物理の知識(慣性モーメント、摩擦係数、回転運動など)があればざっと読めるかと思います。

扱われている問題も生活に即したものが多く、イメージしやすく楽しいです。

  • 氷上の回転椅子に座って回転するには?(題1)
  • 長さが同じ4本脚の机を床に置くと、ガタガタすることがあるのはなぜか?それを直すにはどうすればいいか?(題2)
  • ビリヤード玉にバックスピンやトップスピンをかけるにはどこを打つべきか?(題8)
  • 逆立ち独楽はなぜ逆立ちするか?(題11)

*1:素因数分解をしたときに(1以外の)平方因子を持たない数のこと。つまり、素因数分解が相異なる素数の積になる。

*2:フェルマーの小定理の一般化

*3:つまり、 \alpha < \beta を満たす任意の正の実数  \alpha, \ \beta に対して、  \alpha < p/q < \beta を満たす素数  p, \ q が存在する。

見えてきた2つの行動特性、ひとりSlackなど / 結城浩メルマガVol.325を読んで

2018/6/19発行の結城浩の「コミュニケーションの心がけ」Vol.325』は気づきがたくさんあったので、ブログにメモしておきます。 *1

見えてきた自分の行動特性(1):前にもブログに書いた「過剰な謙遜」

『「自分の得意なもの」を判断する基準』の内容を引用します。

まず、「好き・嫌い」が自分で判断するものなのに対し、「得意・不得意」は他人から判断されるものじゃないでしょうか。
 
(中略)
 
ということで「自分の得意なもの」を判断するときには、

  • 自分の考えだけではなく、他者からの評価はどうか
  • 関心のある具体的な分野だけではなく、抽象度を上げたときの「共通の何か」はないか

を考えてみてはどうでしょうか。この二つをまとめるなら「自分自身を多面的に見る」ということになるわけですけれど。

自分にとっての得意/不得意なものは、他者からの評価を参考にする度合いは小さく、自分自身で判断することが多いです。

違う言い方をすると、他者から高評価を得た場合にこのように思います。

  • 自分が苦手だと思っていることは「そんなことはないはずだ」と思う。
  • 自分が得意だと思っていることは、「やっぱりそうでしょ?」と思う。

以前に書いた記事でいうと、根底には過剰な謙遜というものがあるのかもしれません。

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見えてきた自分の行動特性(2):「相手を動かそう」と考えている

『角の立たない伝え方 - 教えるときの心がけ』の内容を引用します。

結城は「角が立たないようにしている」というよりも「相手を動かそうとしていない」ように思います。
 
多くの人は、自分の考えや行動について他人からあれこれ指図されるのを嫌います。「あれしろ、これしろ、こう考えろ」なんて言われたくないのが多くの人の気持ちです。そうですよね。ふだんと違うことを強制されるのは好みません。
 
他人からあれこれ指図されたくはありませんが、でもその一方で、自分とは違う人の新しい話やおもしろい話を聞きたいという気持ちも同時に持っているものです。つまりふだんと違うことを求める気持ちもあります。
 
(中略)
 
そしてまた多くの人は「他人の話を聞くこと」よりも「自分の話を他人に聞いてもらうこと」を求める場合が多いものです。自分が伝えたいことを受け入れてくれる人を求めるのが人情です。ちょうど、あなたと同じように(そして私と同じように)。

「相手を動かそうとしていない」という表現が非常に斬新でした。なぜなら、自分が意識したことがない考え方なので。

自分は「相手を動かそう」と思うことが多いです。

やや雑な表現をすると、「自分が通ろうと思った道に障害物があったときに、その障害物をなんとかどけて進もうとする」という思考をする傾向があるので、「どけてもらうために会話をする」というイメージです。

「相手を動かそうとしない」という考えもあることを頭に入れておこうと思います。

エクスポート/インポートの応用例

システムエンジニアなのでエクスポート/インポートというと、「データベースのデータをファイルに吐き出して、そのファイルを読み込ませてデータベースに入れる」というのがまず頭に浮かびます。

今回のメルマガでは、スキルと転職の例に応用して説明しており、なるほど!と思いました。

ひとりSlackの進捗状況

何回か前のメルマガでひとりSlackをやってみよう!と思い立ち、空き時間を使ってちょこちょこSlackを触っています。

現時点では、まずは既存のデータの流れの整理が必要かと思っています。

その結果でSlackが必要なさそうと思えば、それはそれでOKです。

おわりに~住職さんの法話

結城さんのメルマガを読むと、お寺の住職さんの法話を思い出します。

私の実家は、あるお寺の檀家で、法事でお寺に行くと住職さんがいつも法話を聞かせてくれます。

住職さんの経験をもとに、

  • 以前にこんなことがあった。
  • もう少し視野を広げるとこういうことなのかもしれない。
  • なので、今生きている私たちはこう考えていくとよいのではないか。

という話をしてくれます。

結城さんのお話の流れはこれにとても似ていて、個人的にはとても理解しやすくて気に入っています。

*1:自分用リンク(ニコニコチャンネル)ch.nicovideo.jp

立体図形に慣れ親しめる「サイコロキャラメル」と「ピタゴラス」

以前にブログに書きましたが、数学の図形の問題がとても苦手です。

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そして、平面図形よりも立体図形がもっと苦手です。

例えばこのような問題です。

  • 立体のある点からある面に下ろした垂線の長さを求めよ。
  • 立体の断面積を求めよ。
  • 回転体の体積を求めよ。

図がかけたとしても、立体的な図形のイメージがつかみづらいので、考えているうちに頭が混乱してきてしまいます。

40代に近づいた私が苦手なのはしょうがないとして、私の子どもたちには図形に慣れ親しんでほしいと思うのが親心です。

私の家にあるもので、立体図形に慣れ親しめると思えるおもちゃを紹介します。

立方体で遊べるサイコロキャラメル

サイコロキャラメル をご存知のみなさんは多いと思います。

サイコロキャラメルは2016年まで全国発売されていましたが、その後は北海道限定で売られるようになりました。

北海道内のお土産屋さん、アンテナショップ、ネット販売で購入できます。

私の家にあったのはこの2パターンでした。(実家が北海道にあるので、帰省するといつも買っています。)

ご存知のように立方体のサイコロです。

はさみで切れば、簡単に立方体の展開図ができます。


立方体、正四面体、円の面積も勉強できる「ピタゴラス

ピープル株式会社が出している ピタゴラス シリーズというおもちゃがあります。

5年ほど前に父がプレゼントしてくれて、子どもたちはよく遊んでいました。

ピタゴラス図形に慣れ親しむにはピッタリのおもちゃだと思っています。数学好きの大人でも十分楽しめます。

ピタゴラス ひらめきのプレート PGS-119

ピタゴラス ひらめきのプレート PGS-119

いろいろな形のプレートを組み合わせて立体を作れます。

正方形、正三角形、直角二等辺三角形二等辺三角形など、いろいろなプレートが入っています。

プレートの縁には特殊な磁石が入っていて、プレート同士をくっつけて平面図形や立体図形を作ることができます。

立方体で遊んでみる。

正方形のプレートを6枚組み合わせて、立方体の展開図を作ります。

これを組み立てて…

立方体が作れます。

それを展開して、いろいろな展開図を作ることもできます。

下の写真のように、スタートとは違う展開図を作ることもできます。

逆に、この展開図で立方体が作れるかな?というのも簡単に試すことができます。(下は立方体が作れない例)


正四面体も作れます。

正三角形のプレートを4枚使えば、正四面体も作れます。

そのほかにも、底面が正方形の四角錘なども作れます。

正三角形のプレートがたくさんあれば、正八面体や正二十面体も作れます。…と言いたいのですが、強い磁石ではないので崩れてしまうと思います。正八面体にチャレンジしましたが、ぐしゃっとなってうまくいきませんでした。

円の面積の勉強にもなります。

立体図形ではなく平面図形の話になりますが、円の面積の勉強にも使えます。

円をピザのように切って、組み合わせて平行四辺形を作って、円の面積を求める公式を出すというアレです。

上の写真では、二等辺三角形の枚数が足りないため正多角形になっていませんが、実際に手を動かして確認することができます。

小学校高学年になるとまた使い始めるはず

子どもたちは幼稚園のころはピタゴラスでよく遊んでいましたが、小学校に入ってからはあまり遊ばなくなりました。

ですが、立方体や円などについて本格的に勉強が始まる小学校高学年になると、また活躍するのではないかと思っています。

連載「眠れぬ夜の確率論」 ~ 『数学セミナー』読書メモ

数学セミナー』2018年4月号から、原啓介さんによる「眠れぬ夜の確率論」の連載が始まりました。

タイトルのとおり、テーマは確率論です。

高校で、場合の数、確率、条件付き確率を勉強しますが、自分にとってはどれも苦手な分野でした。

大学入試の2次試験では、

  • 場合の数の簡単な問題(碁盤の目の問題)で計算ミスをして、自己採点でへこむ。
  • 本番で確率は出ないでほしい!と思っていたら、その通りになってホッとした。

というような思い出があり印象的です。

確率論は苦手な分野ではありますが、高校数学よりも少し高い視点から確率論を見直してみて、何か得ることがあればと思っています。

【目次】

【第1回 - 2018年4月号】どうやら確からしい話

副題は「ある高校生,近江の君,ラプラス,その他の物語」です。

中学・高校で学習した「同様に確からしい」 *1 というちょっと不思議な言葉をたよりに、確率論の歴史が説明されています。

そして、「同様に確からしい」式の確率論はラプラスが提示した確率の原理がもとになっていることが説明されています。現代の言葉でいうと、次のようなものです。

  • 第一原理:確率の定義
  • 第二原理:和の法則(ここがポイント!)
  • 第三原理:積の法則
  • 第四~第七原理:条件付き確率、ベイズの公式、ベイズ推定
  • 第八~第十原理:期待値

ちなみに、この内容は数学ガール乱択アルゴリズム第4章で古典的確率として紹介されているものです。

数学ガール/乱択アルゴリズム (数学ガールシリーズ 4)

数学ガール/乱択アルゴリズム (数学ガールシリーズ 4)

【第2回 - 2018年5月号】あなたの人生の期待値

副題は「心の代数,千両みかん,ホームズ最後の事件,その他の物語」です。

未来の行動を選択するための期待値的な考え方について、過去に論じられた例を使って説明しています。

ポイントは以下の内容でしょうか。(本文より引用します)

ラプラスは確率の定義とベイズ推定について述べた第七原理までに続いて,第八から第十原理の三つで期待値の基本的性質を述べます.興味深いことは,既にこの時点で,人間の問題に期待値を応用するには絶対的な値の他に相対的な値も加味して,「精神的期待値」を考える必要がある,と書かれていることです.

【第3回 - 2018年6月号】確率・長さおよび面積

副題は「キャロルの三角形,並行宇宙,確率変数の謎,その他の物語」です。

学生時代に確率論の講義を受講していました。詳細な内容はほとんど覚えていませんが、測度論確率を関連付けて議論していたということは覚えています。

なぜこの2つを関連付けるかはよくわかりませんでしたが、この記事を読んで納得しました。一部を引用します。

「重なりのない図形に点を選ぶ確率は各図形に点を選ぶ確率の和である」と「確率はたかだか1である」の二つを守る限り,我々は「一様」には点を選べないことになります.(略)結論から言えば,確率は面積や長さと同じものだ,という直観は正しかったのですが,「長さ」や「面積」自体に徹底的な反省と再構築が必要だったのです.

その結果として得られたコルモゴロフによる確率の定義が書かれています。σ-加法族を定義した上で、確率空間確率が定義されています。

続いて、確率変数が定義されます。確率変数は高校以来、いまだによくわかっていないです…。

なお、コルモゴロフによる確率の定義の易しい形 *2数学ガール乱択アルゴリズム第4章に書かれています。

*1:「同様に確からしい」を初めて聞いたのは、小学生のときに見た「平成教育委員会」だったことをはっきり覚えています。

*2:可算加法性というより、有限加法性で書かれている。

連載「やわらかいイデアの話」 ~ 『数学セミナー』読書メモ

数学セミナー』2018年4月号から、藤田博司さんによる「やわらかいイデアのはなし」が連載されています。

位相空間の初歩の話をする連載です。

各月の内容を自分なりにまとめるのがこの記事の目的です。

なお、偶数月号で講義、奇数月号で前月の演習問題の解説をするスタイルの予定とのことです。

私の位相空間の思い出

連載の内容まとめの前に、私にとっての位相空間の思い出を書いておきます。

位相空間を初めて知ったのは大学1年の数学科の講義で、教科書は『集合・位相入門』(松坂和夫著)が指定されました。

集合・位相入門

集合・位相入門

位相空間の特徴づけとして、開集合系の公理から入りました。

その後、閉集合や近傍などの概念、写像の連続性、点列の収束、距離空間、コンパクト性などと進んだ記憶があります。

ユークリッド空間  \mathbb{R}^n での各概念のイメージはおおよそつかめましたが、一般の位相空間ではイメージができないまま卒業したという形です。

【第1回 - 2018年4月号】大きい数・近い点・近傍フィルター

まずは、集合の基本についての説明です。

次は、「十分大きな実数」「十分近い点」という一見すると不思議な言葉について考え、フィルター近傍フィルターの定義が説明されます。

この近傍フィルターを手がかりに、位相について学ぼうということです。

最初に書いた開集合系とは異なる導入なので、今後の展開が楽しみです。

【第2回 - 2018年5月号】大きい数・近い点・近傍フィルター(演習)

第1回で出された4つの演習問題の解説です。

演習3の(5)の証明は私も試みましたが、議論が煩雑になり混乱してしまいました。本文中の記号でいうと、  r, \ \mathrm{P}, \ \mathrm{P'} , \ \mathrm{Q} を証明中で混乱して使ってしまったのが原因でした。

なお、本筋からずれますが、本文中の次の言葉が印象的でした。

大学の数学に初めて触れる人の中には,こうした「正解がひとつでない状況」に戸惑う人も多いようです。
(『数学セミナー 2018年5月号』46ページより引用)

本文中の例とは異なりますが、「ε-δ式の証明で具体的にδを与えるときに複数の候補からどれを選ぶかで悩む」というようなことです。

私にも同じ経験があるので、この気持ちはよ~くわかります。

【第3回 - 2018年6月号】近傍フィルターを生み出すしくみ ― 距離関数と開集合系

これまでに導入された近傍フィルターと今回導入される開集合系が同等であることをが説明されています。

距離空間

  • 距離関数の定義
  • 距離空間の例
    •  \mathbb{R}^2 上の距離(通常とは異なる距離)
    •  \mathbb{N} のべき集合上の距離
      • 部分集合の対称差を使って定義する。
      • カントール空間のひとつの実現方法
    •  \mathbb{Z} 上の)  p 進距離
  • 距離空間であれば、近傍フィルターは定義される。
  • 逆に、近傍フィルターは必ずしも距離関数で与えられるわけではない。
    • 本文に具体例あり。
    • あらゆる距離関数について、具体例で示した近傍フィルターが得られないことを示している。

近傍フィルターと開集合系

  • 近傍フィルターの性質を吟味して、開集合を定義している。
  • 開集合の性質を吟味して、開集合系を定義している。
  • 近傍フィルターを定めることと開集合系を定めることは同等であることを示し、位相空間を定義している。

水曜どうでしょうDVD副音声でグッときた話(随時更新)

水曜どうでしょう』が大好きで、気づいたらファン歴が20年になりました。

水曜どうでしょう』は2002年9月にレギュラー放送が終了し、これまでの企画が順次DVD化されていて、すべてのDVDを買っています。

レギュラー放送された企画は、VHSで文字通りテープが擦り切れるほど見ていて、内容はほとんど頭に入っています。
なので、自分の楽しみはDVDの副音声です。

振り返って聴きたい副音声をまとめます。

副音声では、ディレクター陣と出演者がロケ当時の話などをしています。
それに加えて、番組の作り方のポリシーや生き方のような話をしています。
まるでラジオのような感じなので、運転中にラジオ代わりに聴いています。

中でも、生き方に関する内容にグッとくることが多いです。
これについては、振り返って聴きたくなります。

このエントリでは、どの企画の副音声でどんな話をしたかを、自分のメモのためにまとめます。
なお、随時更新する予定です。

カントリーサインの旅2 第2夜(出演者:D陣、ミスター)

  • 目の前にあるもので楽しいものを自分で作る楽しさ
  • 子どもは積木ひとつでずっと遊んでいられる。自分で楽しいことを作れる。
  • 今は一から十までお膳立てされている状態で楽しむことが多い。

桜前線 第1夜(出演者:D陣)

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アメリカ横断 第2夜(出演者:D陣、ミスター)

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夏野菜第2~3夜(出演者:D陣、安田さん)

  • 安田さんと自分の考え方は似ているかもしれない。

サイコロ6 第1夜(出演者:D陣、ミスター)

  • 自分はもともと欲がないけど、欲がある振りをしていたのかも。

30時間テレビ 第2夜(出演者:D陣、安田さん)

  • 安田さんは「考える/掘り下げる」ことで多忙なんじゃないか。
  • 「我が強い」と言われる。

試験に出る石川富山 第1夜(出演者:D陣、ミスター)

  • 一からものごとを理解することが大事。
  • 経験が大事。
  • 順序立てて考えよう。
  • 今は出来合いのものしか見えない社会

試験に出る石川富山第3夜(出演者:D陣、安田さん)

  • 「何を了解して先に進むか」が人によって違う。

四国八十八か所2 第1夜(出演者:D陣)

  • 大泉さんは負け戦のプロ
  • 今の閉塞感のある日本に必要

四国八十八か所2 第2夜(出演者:D陣、大泉さん)

  • 藤村D:私はテレビを愛しているんです!
  • 「負けるが勝ち」という言葉を最近は聞かなくなった。

原付西日本 最終夜(出演者:D陣、大泉さん)

  • 今のディレクターがやっているのは護岸工事。
  • 結論まで決めてしまっている。

試験に出る日本史 第4夜(出演者:D陣、ミスター)

  • 体や心が弱っている人の話
  • 笑うのが大事。
  • すべてをあきらめる。
  • つらいことはつらい。

西表島 第6夜(出演者:D陣、安田さん)

  • 嬉野さん:常に終わりを考える。
    • 自分にとって、「終わり」は何か?
  • 安田さん:リーダーシップを取らずに、流れに乗っていきたいタイプ。

全般的に

  • 先のことを決めると苦しくなる。だから、先のことは決めない。
  • 自分が楽なように生きる。
  • 人間は強くない。(それが自然)