7931のあたまんなか

日々考えること、読書メモ、数学、交通関係など。うつと生きる30代後半の男です。

『数学ガール/ポアンカレ予想』第1章 読書メモ

数学ガール』シリーズの第6巻数学ガールポアンカレ予想、とても楽しみにしていました!

発売前に目次を見たところ、位相空間・非ユークリッド幾何学位相幾何学微分幾何学微分方程式などを約400ページで概観する内容だと理解しました。

どれも学生時代に消化不良に終わった部分です。*1

これまでで最も苦戦することが予想されますが、なんとか読み進めたいと思います。*2

ポアンカレ予想』を読むにあたって

つまずいた部分証明を要した部分気になった部分をブログにメモしながら読もうと思います。今のところ、章単位に記事を作る予定です。

というわけで、第1章『ケーニヒスベルクの橋』からスタートです。

第1章のキーワード

  • 一筆書きができるための必要条件と十分条件
  • グラフ(頂点、辺、頂点の次数、ループ、有限性、連結性)

奇点が0個のグラフを一筆書きした経路がループになること

22ページに書いてある内容です。

ここで考え込みましたが、次のように考えて解決しました。

【証明】
奇点が0個のグラフが一筆書きできたとして、その経路がループにならない(つまり、始点≠終点)と仮定する。
これは14ページの2つ目の●の場合であり、始点と終点がどちらも奇点であることになる。
これは奇点が0個であることに反する。(証明終わり)

「ループ」は辺だけでなく頂点も含む

24ページに一筆書きの経路の構成方法が書かれていて、「ループの中から、まだたどっていない辺を持つ頂点を見つける」とあります。

ノートに図を描きながら読んでいましたが、「ループは辺のみで構成される(頂点は含まない)」と思っていたためにハマりました。

ループはグラフの一部なので、辺だけでなく頂点も含むと気づいて解決しました。

連結なグラフだから辺はすべて取りつくせる?

33ページのユーリの鋭い指摘に対する僕の回答の理解がまだ不十分です。

グラフの連結性と連結成分の関係がうまくつかめていないので、ここは宿題にしておきます。

大学で位相空間を学んだときも、連結性の議論は苦手だったなぁ…。

そのほか気になったことや感想など

  • 一筆書きの必要条件と十分条件。聞いたことはあるけど、頭から抜けていました。いい復習になりました。
  • 連結性が出てくるということは、グラフに対して何か位相が入るということ?どんな位相?
  • そもそも「グラフ」は集合の言葉でどのように書き下すんだろう?頂点と辺の単なる直和集合ではないよなぁ。(いつかやった気がする)
  • 問題1-2を考える際に、反例から有限性や連結性の条件を付け加えたところがおもしろかった。

*1:幾何学全般が苦手です。中学の平面図形あたりから。

*2:これまで最も苦戦したのは『ゲーデル不完全性定理』、次が『乱択アルゴリズム』でした。

連載「やわらかいイデアの話」 ~ 『数学セミナー』読書メモ

数学セミナー』2018年4月号から、藤田博司さんによる「やわらかいイデアのはなし」が連載されています。

位相空間の初歩の話をする連載です。

各月の内容を自分なりにまとめるのがこの記事の目的です。

なお、偶数月号で講義、奇数月号で前月の演習問題の解説をするスタイルの予定とのことです。

私の位相空間の思い出

連載の内容まとめの前に、私にとっての位相空間の思い出を書いておきます。

位相空間を初めて知ったのは大学1年の数学科の講義で、教科書は『集合・位相入門』(松坂和夫著)が指定されました。

集合・位相入門

集合・位相入門

位相空間の特徴づけとして、開集合系の公理から入りました。

その後、閉集合や近傍などの概念、写像の連続性、点列の収束、距離空間、コンパクト性などと進んだ記憶があります。

ユークリッド空間 R^n での各概念のイメージはおおよそつかめましたが、一般の位相空間ではイメージができないまま卒業したという形です。

【第1回 - 2018年4月号】大きい数・近い点・近傍フィルター

まずは、集合の基本についての説明です。

次は、「十分大きな実数」「十分近い点」という一見すると不思議な言葉について考え、フィルター近傍フィルターの定義が説明されます。

この近傍フィルターを手がかりに、位相について学ぼうということです。

最初に書いた開集合系とは異なる導入なので、今後の展開が楽しみです。

【第2回 - 2018年5月号】大きい数・近い点・近傍フィルター(演習)

第1回で出された4つの演習問題の解説です。

演習3の(5)の証明は私も試みましたが、議論が煩雑になり混乱してしまいました。本文中の記号でいうと、 r, P, P', Q を証明中で混乱して使ってしまったのが原因でした。

なお、本筋からずれますが、本文中の次の言葉が印象的でした。

大学の数学に初めて触れる人の中には,こうした「正解がひとつでない状況」に戸惑う人も多いようです。
(『数学セミナー 2018年5月号』46ページより引用)

本文中の例とは異なりますが、「ε-δ式の証明で具体的にδを与えるときに複数の候補からどれを選ぶかで悩む」というようなことです。

私にも同じ経験があるので、この気持ちはよ~くわかります。

更新履歴

  • 2018/04/19:新規作成

連載「試験のゆめ・数理のうつつ」 ~ 『数学セミナー』読書メモ

数学セミナー』では、2017年4月号から、時枝正さんによる「試験のゆめ・数理のうつつ」が連載されています。

いろいろな分野の重要定理やそれを使った問題を俯瞰できる連載で、とても気に入っています。
各月でどのような内容が紹介されているかを記録するのが、この記事の目的です。

この連載の概要

ケンブリッジ大学の数学専攻の試験にトライポスというものがあります。

この連載では、各月のテーマごとにトライポスの雰囲気を感じられる問題が紹介されています。

各月で紹介される問題は10問前後で、簡潔な解答がつけられています。

複数分野が融合された問題も見られ、意外な発見があるのが楽しみです。

【第1回 - 2017年4月号】ケンブリッヂの入試

イントロダクションとして、ケンブリッジの数学専攻に入るための口頭試験のサンプル問題が紹介されています。

「口頭」と言いながらも、このような試験のようです。

座るやいなや,問題を与える.「口頭」とは名ばかり,その場でペンと紙をどしどし使わせ,つまづくようす,解くようす,あきらめるようす,巻き返すようす,を観察する.すぐ解けるようなら問題を難しくし,なかなか解けぬようなら易しくし,初めの2~3分でその人がこなせるぎりぎりの水準を探り当て,30分間6つ~7つ問題をやらせるのである.
(『数学セミナー 2017年4月号』45ページより引用)

紹介されている12問から2問を引用します。

問3 100! のしっぽにはいくつ 0 が連なるか?

問6 すべすべな面に静止したおはじきAに,同質量のおはじきBをぶつけると,散乱角は 90° になる.これを導け.正面衝突させると何がおこるか?

【第2回 - 2017年5月号】確率:逆説あれこれ,条件付けて考える

一般的な確率の問題から、標本調査、ベイズ統計、条件付確率/期待値、幾何確率、積分確率などに関する問題が紹介されています。

印象的だったものは、 調和平均 ≦ 幾何平均 ≦ 算術平均 の関係を確率論的にとらえた問題(題5)です。

確率や期待値を積分を使って評価する問題もいくつかあります。
あまりやったことがないので、とても新鮮に見えました。

【第3回 - 2017年6月号】力学:保存量やりとり,次元解析

運動量、遠心力、ケプラーの三法則、エネルギーなど、数学というより物理の内容です。

高校物理+αしか学んでいない私にとって、新鮮味がある問題ばかりでした。

例えば、こんな問題。

題5 片面バターを塗ったトーストがテーブルの縁から落ちると,えてしてバター面がうつぶせに着地しますよね.くるりとフル回転してあおむけに着地させるためにはテーブルの高さを何倍にすべきか?即答しなさい.

題8 川床にグラフ B=B(x) で与えられるこぶを築いたとき,川面の高低はどう変わるか?

【第4回 - 2017年7月号】群:対称性をみぬき,作用してほぐす

タイトルにあるとおり、群の作用に着目した問題が紹介されています。

問題に対する解答の帰結として、基本群の例やフェルマーの小定理が得られる問題もあります。

考えたことがなかった!と思ったのが、次の2つの問題です。

題7 群から2元をランダムに抽出したとき,それらが可換な確率は何か?

(題8の後に書かれた内容の抜粋)
群,群というけれど,群ってありふれた存在なのでしょうか?それとも稀なのかな?
定理 位数 n の群の数は高々  n!^{\log_2 n} である。
―結合律はかくも厳しい要請なのであった。

【第5回 - 2017年8月号】1変数の微積分:テレスコープ原理,連続と離散

この回は、以下の3つの部分に分類されます。

ディガンマ関数とは、ガンマ関数の対数微分を取ったものとのこと。

ガンマ関数が乗法的とすると、ディガンマ関数は加法的と考えられ、無限級数との相性がよさそうです。

余談ですが、「連続と離散」というと、微分積分と差分・和分の関係を初めて知った数学ガール』を読んだときの衝撃が印象に残っています。

数学ガール (数学ガールシリーズ 1)

数学ガール (数学ガールシリーズ 1)

この連載と同じく『数学セミナー』で連載中の梅田亨さんの「計算するたのしみ―スターリング数のいる風景」でも、差分・和分が扱われており、いずれじっくり読んでみたいと思っています。

【第6回 - 2017年9月号】ベクトル解析:ラプラシアンの意味,球の調和場

前半は調和関数(ラプラス方程式 Δφ = 0 の解)に関する問題が紹介されています。

後半はベクトル解析を使って、重力ポテンシャルなどの話が出てきます。
(後半の内容は知識がほとんどないので、私の力では説明できません…)

調和関数は、私の修士時代の研究内容に関係してきます。
時間があれば、改めて勉強したいと思っています。

印象に残った次の問題は、複素関数論のリュウビルの定理の一般化とのこと。
具体的にどういう関係なんだろう?

題8 R^n 全体で有界な調和関数は定数である。

【第7回 - 2018年4月号】数論:素数のたちい,合同式のふるまい

6ヶ月間の休載を経て、次は素数合同式の話題です。
学部時代に勉強した内容でとても懐かしい思いがしました。

内容は次のように分類されます。

素数定理を使った次の問題が印象的です。(本文と記述は変えています)

題17 素数/素数の形の有理数全体は、正の実数全体の集合で稠密である。*3

【第8回 - 2018年5月号】微分方程式:デルタとグリーン,指数函数百面相

微分方程式の解をグリーン関数と呼ばれる関数で記述する問題などが出てきます。

グリーン関数は初めて知りました。ディラックデルタ関数で記述する関数です。

ですので、たたみ込みやフーリエ変換がからむ話も出てきます。先日書いたこの記事の続きにあたる内容です。(続きを書きたいけど、手が出てません)
wed7931.hatenablog.com

ほかにも、調和振動、強制減衰振動、うなり、共鳴、シュレディンガー方程式、特異摂動といった物理関係の話題が出てきます。

更新履歴

  • 2018/04/07:新規作成
  • 2018/04/19:第8回を追記

*1:素因数分解をしたときに(1以外の)平方因子を持たない数のこと。つまり、素因数分解が相異なる素数の積になる。

*2:フェルマーの小定理の一般化

*3:つまり、 \alpha < \beta を満たす任意の正の実数  \alpha, \ \beta に対して、  \alpha < p/q < \beta を満たす素数  p, \ q が存在する。

概算を暗算で行うトレーニング/検算を拡大解釈する

小学校の算数では、暗算・概算・検算について学習します。

具体的に言うと、こういう内容です。

暗算
筆算を学習した後に、「24+53」や「23×3」のようなやや簡単な計算を筆算をせずに暗算する。
概算
概数(四捨五入、切り上げなど)を学習した後に、「58447+71209」や「63029÷193」のような式の計算結果を見積もる。
検算
確かめの計算などとも呼ばれます。「67-39=28 は 28+39=67 で確かめられる」「68÷8=8あまり4 は 8×8+4=68 で確かめられる」など。


筆算などを使って、正しい計算結果を出すトレーニングはよく行われます。

一方で、暗算・概算・検算は、学校教育ではあまり重要視されないように思っています。

また、年齢が上がってきて働くようになると、正確な計算結果を出すことはそれほど求められなくなります。

概算を暗算で行い、規模感を短時間でつかむことが求められるようになる実感があります。そして、規模感がだいたい合っているかを確認するための検算も必要です。


個人的には、概算を暗算で行うトレーニングを学校でも取り入れていいのかなと思っています。

また、検算を拡大解釈した上で意識させるとよいのではないかという考えです。

検算の拡大解釈の具体例を挙げてみます。

  • 与えられた小数や分数に近い整数は何か。
  • A×(1より小さい数) は A より小さくなる。
  • A÷(1より小さい数) は A より大きくなる。

ほかにもあるかもしれませんが、小数や分数の計算結果の確認に役立つものが多いと思います。

これらは普段の計算トレーニングで自然と発見されるものかもしれませんが、計算が苦手な人にアドバイスすると有効かもしれません。


※この記事で参考にした本はこちらです。

小学総合的研究わかる算数

小学総合的研究わかる算数

「自分が生きていれば、それでいいんだな」

ポンコつっこさんのこの記事を読んで、とても心が揺さぶられました。*1

note.mu


タイトルの「親孝行の本当の意味はあなたが生きていること」

これは本当に正しいと心からそう思います。両親の子どもとしても、2人の息子の親としても。

メンタルの状況が本当にひどいとき、消えてしまいたいと思うことが何度もありました。それが何日も続くこともあり、とても苦しい時間でした。

幸いにも、ここ1年近くはそういうことを思うことはなくなってきました。

それは「自分が生きていれば、それでいいんだな」ということに気付いたことが大きいと思います。

自分は2人の息子の父親で、いろいろと期待することもあるけど、まずは生きていてさえいてくれればいい。

この思いは、私の両親も同じなんだろうなと思うようになりました。


こう思えるようになったきっかけは、「死ぬ辞め」で知られる『「死ぬくらいなら会社辞めれば」ができない理由(ワケ)』を読んだことです。

メンタルが最悪のときになんとか読んだ本で、いろいろなことを教えてくれました。

中でも、この言葉が非常に印象的でした。

「仕事上の立場は替えがきく」と言いましたが
替えのきかないものも存在します。
 
あなたが誰かの息子や娘であり
誰かの父親や母親であること
 
誰かの夫や妻であり
誰かの兄弟や姉妹であること
 
誰かの孫や祖父母であり
誰かの恋人であり誰かの友人であること
 
これらは絶対に替えがききません
  
(104ページのマンガ内の文章を抜粋)

このページを読んで、涙が止まらなかったことを覚えています。*2


自分自身、心身ともにまだ回復しきってはいません。

でも、前を向くことはできるので、ひとつひとつ進んでいこうと思います。

*1:同様の内容が書かれているブログはこちら → 親孝行の本当の意味はあなたが生きていること - 心がよろけそうなときに読むポンコツ日記

*2:ほかのページでも何度も涙しました。

水曜どうでしょう班が訪れた場所に行ってみた(九州編)

水曜どうでしょう班が訪れた場所に行ってみたシリーズの第3弾です。

第1弾は東日本編、第2弾は四国編でした。

wed7931.hatenablog.com

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第3弾は九州編です。

2006年9月に新婚旅行で九州に行きました。
宮崎県→熊本県大分県→福岡県→山口県の順に回りました。
どうでしょう班が訪れた場所に行くことを目的とした旅です。

ここでは、行った順に説明します。

青島海岸 鬼の洗濯岩(宮崎県宮崎市

『原付西日本制覇』でなまはげさんが藤村Dのパンツを洗濯した場所です。


酒泉の杜 綾陽亭(宮崎県綾町)

どうでしょう班がとても気に入っているお宿です。
『原付西日本制覇』と『絵ハガキの旅2』で2度訪れています。

とても上品な宿で、食事もおいしかった記憶があります。
お酒の試飲がたっぷりできるのも魅力です。

照葉大吊橋(宮崎県綾町)

こちらも綾町にあり、『原付西日本制覇』と『絵ハガキの旅2』で訪れました。

早朝で営業時間外なので、渡ることはできませんでした。
まぁ、営業時間中だとしても怖くて渡れなかったかもというくらい高いところにありました。

後藤姫だるま工房(大分県竹田市

姫だるまさんのご実家です。
『原付西日本制覇』で訪れ、姫だるまさんの出産のために『プチ復活!思い出のロケ地を訪ねる小さな旅 』で里帰りに同行しています。

https://lh3.googleusercontent.com/Nn6oXgw1dZCq5HcmR38__VPKMvQBMfgz76Iz7SPmQ_yF7VhhzTaazbBSnB9QQkqvXy5voE5boqFTwohsiFRzU6IPseMK3T_ro8VmbYY-u7SXqE3ik7sEwopDfLYkkuezI7COe-KGhv6ejGR6v9goxSqag8tfMXLF1A_gp9q1qHeb9pMLIXe0xMJ-XlAWhzauzeLTjkvoCy-VZeT8EZ6znZw170YCnx5yI81jAj5ANssuTfiHm5QmDCXBhdOY_XMqxlObeTskabaJiDpmiTTfPn0D_bSpl-DOfnZf38GSJZrx48ZMorAyMjytLZoCBkBOm7FoUU-7SBdOp2PoUv1nnSoJv14oCNmY7Kx8ZsoDh8fPgQQOq4EUecX4K7B9pMi78LTh7fKloPcSxwQu4FKQaE1OsnCKnmevPLFI6gCEWtJlYpAX25JJyB4k1WZ79fn6cSYDAGviFuJtHQ6p31WDL-J_9568g0_8xv8sPEUz5jQXF8ozY-hXcDSDQV807RUvWDxdRIawtbTN2CmmoaV5f0QB6bXf0U1ECNQEWHISI_YP5qouESrwNV-jpHZkqftFnb0aj2ZS_M9PC-9nr9vwD17piRQTXC0pVcGLSiht=w478-h637-no

https://lh3.googleusercontent.com/eV68RS96nWcoiKhAxtSNVEs32bTTPE7rL-MXErY0QdYOCstG9P6vbz3V8CXqJQTQZIspRJtwGMgp0a8FJ_A0Kl-f1Hndkm1qBtlcTfBuiEl-ffabeK_0HBY5IKwE8Nyl-6h4guzrwVPCfht3caY7tLRY54zIbvblswuvESELc-eFUG4KxthMnCUKNIjN3iZBf_UZ7tBXmEDgTgcXTFUXyr_wiFXsFD67UDkQ-H5_4EFj9mYbaKTE-g9McdZZlwcr5hH80lWqQFvlyAze-iXG59SnL7OV0-u3QDVKWCh1LaP_O3BQLHYyUzQGkkbPjps4sxoKcA23u55JGyC8lCOKjqq_yKcywlNvGwXhg47xF8DMn9MeYmXqSppvjXUtion86dn9r_I4Wna5cdUH4XTGcDsmJwXlcjDw62aTlg2AKHB0ZRELjRY2udTz03Wl9Lyyge1bwYEivGST4bx9JllmtA087U3tM1wxDjzKgxlUPJ3mk9B0g06yPY_HXmVoG3ah9fzy7q0vBWsRQurXcRGxtDUsjXCjqC9Es82OchOKd6sCIMsHFZzLJCoWFUfqX3tZQOn_odFyYRhKDAUFPe0ZD9Cs2E_1jg63YS4tGc66=w478-h637-no

すでに多くのファンが訪れていた時期のようでした。
後藤さんともお話させていただき、姫だるまを1個購入しました。

臼杵港フェリーターミナル(大分県臼杵市

『サイコロ1』での松山の次の目的地となった場所です。

https://lh3.googleusercontent.com/zm5LiosBRbbGB-K1OrCukC-ln_Fjb-EXxwRLbir8_UWm0wROoA6VOrGxy8n8ejGCJ5s_mF0djbpG_Cr924dTcQwwgv6fG3jLLcDQR6jC8icmM48crep2-KtDQDXlBTUKMQaJbNv5QlmdAhX-FFp41HzRtUWdKVodzdbriaPzvy3S139oVkm5RB7CiaRJAoBFtV3CU9C9LuR1uucMRXtUMNH6DLX2Fav_ZAZaJ3fE-dzv9V2mrVOGeGKFvo2c1W2JsYVuU6f2_oT66bVsbZ7MXNx6lUFCt7TqO0h9ndx0fEwKl8l7aOO7VKTLv6FsfvsZZYGnCrE95I0swE3G7U3NoWBrzGUM8kXsCgo6B7Bv_P0I6bslHHplpZqKc_alnV6E3UB_r-TyJpUbAdouhFDG9fS1xYTdTCStxigWVoIx3nX1jickilgwaJW7qoGlHHHc_IM3a_zqGRgpEW50031ZFItwHNxUzccMX-9Maks61BjPX4WDkIyFNDBu1eZLVHx7zAGcgWflHhWSpy9gQ60v-KflZlMJzs92Yk6CXN0xV1IFz4scSav63tt4Q9dAqNz1n3Ob5jKbtC55-R6B_cWwF1mMKdXJAuz7OSHsxt3q=w478-h637-no

大分ドーム(大分県大分市

対決列島』で高速道路から見た大分ドーム。
大泉さんがむりやりレポートをさせられたところです。

大分自動車道を宮崎方面に走行しているので、どうでしょう班とは逆方向に走行していたかもしれません。

博多駅(福岡県福岡市)

『サイコロ3』でサイコロを振った博多駅
大泉さんが天下一武道会と形容した場所です。


関門トンネル(福岡県北九州市山口県下関市

『原付西日本制覇』でD陣が車で走行したトンネルの九州側の入口です。
100円タレントが歩いた人道トンネルには、残念ながら行けませんでした。

https://lh3.googleusercontent.com/o4j918-iX4vt6ADfZa4yMMgHaH90M8pYry-xphIgug3QYsQovjbLfGuVqHBVejdG77nCBRBNBGM-Tvvelf3-2y3UoKODCb2lopaKS2nUbXWUszTyHcuqibBr9jiQIkA5jUkZm8b5rsMjGKjHMgHZtpiysPU6xg7JmvIu6LaxIcxl2Tl3gqoAC9kU_4t4_z4BYmQo5QSLSNIRgE_0U64OEHCKBtkc-WcdcSGT5QHHahJ2LOvu5_0uoQEnDmCoN_u-gRnPzRlFtIn_87q12yVrwvSglZmJGi2tO89oUWYWvzPIgDBPMRDMZqe2UaY4ve49O8ci6n8yUJSpGjSBbD5O-s8xH4LyOCtTBbhcKwQVTaU9XbTxb41DBdBxO8qisOSfCQufJuT1ON2OqUp1_qzD5h20r-OJ1nHyj7Oscjf4qP516CFkgBEbCG5mTM7s6zPv4_vu3TM-Y99EamZa8nq7JHPQoiOslu1CPnKHru6KgKXrwgFLtAGs9KKJmsFHrZUkpeRIg7Fs03OqPLrNBza8Ax7jlA33Bedfdu9ryHChbKOB_MOM9nohlMXej7KQB97xYoUwO4-_FWRRudKro-RwhiO4Ttf-OaYkEonp2cS9=w478-h637-no

壇ノ浦パーキングエリア(山口県下関市

『サイコロ2』での伝説の壇ノ浦レポートの場所です。
昼間なので、自動販売機の明かりは体験できませんでした。

https://lh3.googleusercontent.com/XLtKeMkjeMgXztn2G7bfpGBU4ETU_yzUv95EGHhZa9VSaBQ80XEehbarz4EjGVUbWFfeP9TBW-NLyDAtjkv_yx7eQ77eH0LVSiqFAWFneUwnUkZSS0vY7O6W6loc1iZ4Vog40Rnb7HWkUIkH9vKYBBr8ixVU09HPMKbeK1aIN3CzVD2t00RAIyYrB_LjqKU3jPx5yqZdjDdL0guM3KMi7IgXzJOCBhOdTfKlk7KhkzexW_ka9czFWCo-c4BZXFunLzdmTxm29YFX1LtJH8vMYHHlzbzlE-SUv9ivEvTxkxSYqvi7J-T94BkO-2bDWpiSp-C97LITtsvPdbU4knJ-TDBKp85RNDRNgZKzr1LcV4R-8XYwfhwbmyN--GKtSZbAVgesv9B-Tv-uS9n92UjuGhy3_BVEqDls9tPdmXiz3kf689loWBaQ4JGjSbHA0SFUZNVYG6z5sNgOmqaAnzalH7thoBJIguxjAWpYDhLGpLdZTfuqDGiKPEnWXnw0x_gM3N2bRsgETas4GKG_BKNcMCnmjVeH7wUJosS1c2v1ViJ3jxJSCFBDI8xPVum135LnT2L8AEmG7aV3QpXSJ3rs32s9kIx4YB-lg6cQ7Xo_=w478-h637-no

https://lh3.googleusercontent.com/J-6cBjd4Ngu_QbfV9JTIQ1ZyDkXJ_TDw3K6YGsFOJi3vCJcOe9wAozmB_PTp_NX_yXxcUD0J4NeF7mga64bCdNbs6OsI7K3hFgzWKaB1CY7kQyzuMeVe52eB-aNc49g5N9OH22j-4meGnNRTTZf6XAK1nBlvRR2Y8AJPIYyiuMEojzEZYXuHf4QIMt5_ZV0HDuN4_8BuAkkyb0pE20t9RN20Ba9neMAFfrhbUWPIjPhMTA46nFlf-kbd8twnFXyuY1PC3yDvj_hTJ-R2Xg2RnHp53phFd9MpIsikFe3miJA4pFnmxegTwQm55AE7Nk8CpeEvSfayJny-zdBV2ZtTOxzuqf22H9yxeLKumhRLauGPYF4AtgAo2Ov3Rq9jly6XQnRWfmjTQs6TqXD9uB7Rspcf7WbIIEGksE7YOVWvqk9isgNSJ_owCPI3amv_QpXIEzKgykG1kKVJT8tkIWmcbnIPSn5xPPn00Td4rDDPlVxMGXC08d_QOenPqT1PrNhGZ9PM7C_U1uY1TRhHSQZZ1e01Em2jm3IUjBRhblXaAe2UCTh4Cm4IzuA5KBwh59M02XAC-jan5_0q_-xsMGoOXK3gdGCAxfZiXvToo8M=w478-h637-no

次回もあります。

次回が最終回の予定です。お楽しみに!

チンチロリンハイボールはお得なの?(期待値の話)

チンチロリンハイボール、みなさんご存知でしょうか?

飲み屋さんに行くと、チンチロリンハイボールができるお店があります。

チンチロリンハイボールを頼むと、店員さんがサイコロ2つ持ってきます。
そのサイコロを振って、出た目によってハイボールの値段や量が変わるという、お遊び要素がある注文方法です。

私はハイボールが好きなので、よくこれを注文してサイコロを振ることを楽しみにしています。


お店によって違いがあると思いますが、あるお店の注文パネルにはこう表示されていました。


詳しく説明するとこうなります。

左が普通ハイボール、右がメガハイボールです。
メガハイボールは、ジョッキも大きくズシっと重いです。


これを見ると、「普通サイズの注文」と「チンチロリンハイボール」はどちらが得か?ということが気になります。

そう、期待値の計算です。

(A)~(C)の確率を計算する。

出た目が(A)~(C)になる確率を計算します。

2つのサイコロの目を表にまとめて考えます。

すると、次のようになります。

  • (A)になる確率: \displaystyle \frac{6}{36}   \ \Bigl(= \frac{1}{6} \Bigr)
  • (B)になる確率: \displaystyle \frac{12}{36} \ \Bigl(= \frac{1}{3} \Bigr)
  • (C)になる確率: \displaystyle \frac{18}{36} \ \Bigl(= \frac{1}{2} \Bigr)

値段の期待値を計算する

チンチロリンハイボールの値段の期待値を計算します。

普通ハイボールの値段を  a 円とすると、

  • (A)の値段: \displaystyle 0
  • (B)の値段: \displaystyle 0.5a
  • (C)の値段: \displaystyle 2a

なので、期待値は
 \displaystyle 0 \times \frac{6}{36} + 0.5a \times \frac{12}{36} + 2a \times \frac{18}{36} = \frac{42}{36}a = \frac{7}{6}a \ .

これはおよそ  1.17a 円。
普通ハイボールの17%増しの値段です。

例えば、普通ハイボールが350円とすると、その17%は約58円です。

量の期待値を計算する

次はチンチロリンハイボールの量の期待値です。
普通ハイボールよりどれくらい多い量が飲めそうかということです。

ここでは、簡単のために、メガハイボールは普通サイズの2倍とします。

普通ハイボールの量を  b リットルとすると、

  • (A)の量: \displaystyle b リットル
  • (B)の量: \displaystyle b リットル
  • (C)の量: \displaystyle 2b リットル

なので、期待値は
 \displaystyle b \times \frac{6}{36} + b \times \frac{12}{36} + 2b \times \frac{18}{36} = \frac{54}{36}b = \frac{3}{2}a \ .

これは普通ハイボールの50%増しの量になります。

ということは、チンチロリンハイボールはお得?

これまでの議論をまとめると、普通のハイボールを注文するより、チンチロリンハイボールの方がお得なように見えます。

ですが、(C)のメガハイボールが普通のハイボールの2倍の量かは確認できていません。1.8倍かもしれません。

というわけで、損益分岐点がどこにあるかは検討の余地がありそうです。

これについては、読者の演習問題とします。*2

私個人としては、期待値はどうであれ、単純にお遊び要素が楽しいので、これからもチンチロリンハイボールを注文しようと思います。

*1:このお店の場合は350円。お店によって値段は変わります。

*2:「読者の演習問題とする」は、数学書で頻出の文言です。