7931のあたまんなか

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カラテオドリの意味での可測性~『ルベーグ積分講義』読書メモ

ルベーグ積分講義』(新井仁之 著)の読書メモ第3回です。

これまでの読書メモでは、 ジョルダンとルベーグの2つの方式での面積の定義ルベーグ測度の性質 について整理しました。

今回は第5章のまとめです。

カラテオドリによるルベーグ可測性の特徴づけ

上にあるこの節の見出しは、第5章のタイトルそのものにしました。

第2章で定義されたルベーグ可測性と同値なものとして、カラテオドリによる可測性の定義があることが、この章を通じて説明・証明されています。

ルベーグ測度は「ルベーグ外測度=ルベーグ内測度」で定義されました。

カラテオドリの意味で可測であることは、ルベーグ外測度のみで記述されます。(定義5.1)

これまでに説明されているジョルダン可測性やリーマン可積分性との関係をまとめると、次のような図で表現できます。


補足

命題5.1について

  • 主張:定理4.1との類似性に注目する。
    • 定理4.1の  \mathfrak{M} \mathfrak{M}^* に置き換えたものが命題5.1の主張である。
  • 証明:定理4.1の位相空間論を使った証明とは異なる。

定理5.5の証明

  • 81ページ6行目:定理3.1'を使う。
  • 81ページ8~9行目:開集合  G と集合  G \cup A, \ G \cap A^c ルベーグ可測であること(系3.15と定理4.1より)と定理3.1'より、8行目の最右辺を得る。また、ルベーグ可測集合  B に対して  m(B) = m^* (B) であることと  E \cap A \subset G \cap A 、および補題2.9より、9行目を得る。
  • (2)⇒(1)の証明で開集合  G U をとれる理由:補題3.17の(i)と(ii)を繰り返し適用すればよい。
  • (2)⇒(1)の  m^*(A) = \infty の場合の証明の結末:  A_nルベーグ可測であることと  A= \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n および定理4.1 (4)から、  Aルベーグ可測になる。