これまでの読書メモでは、 ジョルダンとルベーグの2つの方式での面積の定義 と ルベーグ測度の性質 について整理しました。
今回は第5章のまとめです。
カラテオドリによるルベーグ可測性の特徴づけ
上にあるこの節の見出しは、第5章のタイトルそのものにしました。
第2章で定義されたルベーグ可測性と同値なものとして、カラテオドリによる可測性の定義があることが、この章を通じて説明・証明されています。
ルベーグ測度は「ルベーグ外測度=ルベーグ内測度」で定義されました。
カラテオドリの意味で可測であることは、ルベーグ外測度のみで記述されます。(定義5.1)
これまでに説明されているジョルダン可測性やリーマン可積分性との関係をまとめると、次のような図で表現できます。
補足
命題5.1について
- 主張:定理4.1との類似性に注目する。
- 定理4.1の を に置き換えたものが命題5.1の主張である。
- 証明:定理4.1の位相空間論を使った証明とは異なる。