「数学セミナー 2017年10月号」の読書メモ～その1

「数学セミナー 2017年10月号」の読書メモです。
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不可能性の証明／古代ギリシャから現代まで

数学において「～は不可能である」ことが証明されることは、後ろ向きのことではなく、新しい問題のスタート。
例えば、どこまで仮定を緩めれば「不可能ではなくなる」のかを考える研究に発展するなど。

ギリシャの三大作図問題とガロア理論

古代ギリシャ数学での「ギリシャの三大作図問題」(以下の(1)～(3))は、2000年以上経ってからすべて「不可能である」ことが証明された。
- (1) 与えられた立方体の2倍の体積を持つ立方体の1辺の長さを作図できるか？
- (2) 与えられた角を3等分するように作図できるか？
- (3) 与えられた円と同じ面積を持つ正方形の1辺の長さを作図できるか？
この証明の主題はガロア理論。これは、一般の代数方程式(実数係数の多項式)が解の公式を持つかどうかを判定するために使われ、代数学の基本である群や体を土台とした理論である。
- もう1つの基本の「環と加群」はどんな応用があるんだっけ…？
「ギリシャの三大作図問題」は幾何学の問題だが、いずれも代数学の問題に置き換えることができ、最終的には代数学の問題として不可能性が証明された。
- (1)は、 $x^3-2=0$ という方程式に置き換えられます。3次方程式は解の公式を持ちますが、その解を作図することは不可能です。
- ちなみに、折り紙では3次方程式の解を作図する(折る)ことができるとのこと。(数学セミナー2017年5月号｜日本評論社の『2次方程式の解の公式からガロア理論へ』参照)
- (2)は、書籍『数学ガール／ガロア理論』（結城浩）の第5章に詳しく書かれています。定規とコンパスによる作図可能性についても詳しいです。
- (3)は、 $\sqrt{\pi}$ が超越数であることが証明できればいいのかな?

連続体仮説

連続体仮説とは、「実数全体の集合 $\mathbb{R}$ と自然数全体の集合 $\mathbb{N}$ の真に中間の濃度を持つ $\mathbb{R}$ の部分集合は存在するか?」という問題。(ヒルベルトの第1問題)
ゲーデルの第一不完全性定理によると、どのように公理を設定しても証明も反証もできない文が存在する。
- この定理は書籍『数学ガール／ゲーデルの不完全性定理』（結城浩）に書かれていますが、自分は1回読んだだけでは証明が追いきれませんでした…。
公理的集合論で標準的に使われるZF公理系においては、連続体仮説が「証明も反証もできない文」となる。
- 定理(ゲーデル, 1938): ZFに連続体仮説を追加した公理系は無矛盾である。
- 定理(コーエン, 1963): ZFに「連続体仮説の否定」を追加した公理系は無矛盾である。
つまり、連続体仮説を満たす集合は「あってもなくてもおかしくない」ということがわかり、そこから公理的集合論の研究がさらに進んでいるとのこと。
- 上の2つの定理が同時に成立することを知ったことが、10月号でいちばんの衝撃でした。
- 恥ずかしながら、これまでは $\mathbb{R}$ と $\mathbb{N}$ の間の濃度を持つ集合は「存在しない」と思い込んでいました。