特集「体とはなにか」～『数学セミナー 2018年10月号』読書メモ（前編）

『数学セミナー 2018年10月号』の特集は「体（たい）とはなにか」です。

大学数学科時代に体論やガロア理論の講義を受けましたが、十分に理解できないままでした。

卒業後に『数学ガール／ガロア理論』を読んで、ガロア理論や方程式の可解性をようやく理解しました。

今回の特集を読むことで、有限体やp進数体などの概要がわかりました。

ここでは、特集内の7つの記事のうち、前半の3つの記事の内容をメモします。

複素数体 $\mathbb{C}$ ：実数の中で解を持たない2次方程式 $x^2 + 1 = 0$ の根 $i = \sqrt{-1}$ を、実数体 $\mathbb{R}$ に添加して拡大した体
体の拡大 $\mathbb{C} / \mathbb{R}$ の拡大次数は2。（★1）
複素共役写像を考える。
- $\mathbb{R}$ は $\sigma$ の不変体である。
- $\sigma^2$ は恒等写像なので、 $\sigma$ の位数は2。
- $\{ \sigma , \text{恒等写像} \}$ は位数2の群をなす。（★2）
以上により、（★1）と（★2）が関係づけられる。

代数方程式：有理数係数の多項式=0
方程式の分解体：代数方程式を解くのに十分な拡大体
- 言い換えると、方程式の根がすべて含まれる拡大体
- 分解体までの拡大をガロア拡大という。 *1
例えば、の根はの3つ。ここで、（1の3乗根の1つ）。
- $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ はすべての根を含まない。
- $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)$ はすべての根を含むので、 $x^3 - 2 = 0$ の分解体となる。
根同士の置換全体がなす群 *2 の部分群の性質を調べることで、方程式の可解性（四則演算と冪根で解く）を調べることができる。
- これがガロア理論。
なお、拡大はの根である虚数単位を具体的に与えられる必要を消し去った。
- つまり、 $\bar{i} = -i$ だが、 $i$ と $-i$ のどちらかを考える配慮は不要になった。
- $\omega$ と $\bar{\omega} = \omega^2$ も同様。

正 $n$ 角形が作図できるためには、 $n$ が素数のときは $n=2^{2^m} +1$ の形でなければならない（2次拡大の系列を作れなければならないから）。
本文では、正17角形が説明されている（上の $m=2$ の場合）。

解法1：代数的解法
- 『はじめての数論』 *3 第2章参照
解法2：幾何的解法
- 『はじめての数論』第3章参照
解法3：体論を使った解法
- ガロア群 $\mathrm{Gal}( \mathbb{Q}(\sqrt{-1}) / \mathbb{Q})$ が位数2のアーベル群（つまり巡回群）であることから、巡回拡大に対して成り立つヒルベルトの定理90を使って解く。

$\alpha \in \mathbb{Q}(\sqrt{-1})$ のノルム $N(\alpha) = \alpha \bar{\alpha}$ の性質を使って、方程式を満たす有理数が存在するための $r$ についての必要十分条件を導ける（定理3）。
証明の鍵は次の(1)と(2)の2つ。
(1) フェルマーの2平方定理：素数について、を満たす整数が存在する ⇔ または。 *4
- $x^2 + y^2 = N(x+y\sqrt{-1})$ に注意。
- 『はじめての数論』第25章参照
(2) 素因数分解の一意性：ガウス整数がガウス素数の積に（単元倍を除いて）一意的に分解できる。 *5
- ガウス整数： $x + y\sqrt{-1} \ (x,y \in \mathbb{Z})$
- 単元：乗法的逆元を持つガウス整数。ノルムが1であることと同値で $\pm 1, \pm \sqrt{-1}$ の4つ。
- ガウス素数：ガウス整数 $\beta$ で、 $\beta$ を割り切るガウス整数が単元と $\beta$ の単元倍のみのもの
- 『初めての数論』第34章参照

これは問題2の一般化。なお、代数体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ は虚2次体と呼ばれる。
の場合は問題2とほぼ同様に解けるが、他のでは同様に解けない場合がある。
- (1)のように、ある整数で割った余りのように簡単に特徴づけできない。
- $d=5$ の場合は、(2)が成立しない。 *6

問題「どのような素数 $p \neq 23$ に対して、 $p=6x^2+xy+y^2$ を満たす整数 $x,y$ が存在するか？」と類数3の虚2次体 $\mathbb{Q}(-\sqrt{23})$ と保型形式の関係
虚2次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ の類数が1になるのは、 $d=1,2,3,7,11,19,43,67,163$ に限る。
ガロアの逆問題：有限体に対して、ガロア群がと同型になる代数体は存在するか？
- $G$ が可解群やいくつかの有限単純群（モンスター群を含む）の場合は解決済み。
- 幾何的ラングランズ対応を使った手法が駆使されている。 *9