「気になっているのは、数式が出てこない点です。絵を描いて終わりにしていいのかな、なんて」
（中略）
「数式が出てこないと、まちがったことをやっていないのかなと考えてしまうんです。伸ばしたらこうなりますね、貼り付けるとこうなりますね、数学なのに、それでいいんでしょうか。あたしは、まちがうのが恐いんです」

第2章まで読んで、自分もまさに同じことを思って、モヤモヤしていました。

この章で位相空間としての同相写像が定義されたので、この後にこのモヤモヤが解消されるかなと期待しています。

一般化と特殊化

この章には、一般化と特殊化（抽象化と具体化）の例が出てきます。

一つは、合同と相似。（1:1 と 1:r と見なせる。）

もう一つは、距離空間と位相空間。

距離空間から距離を捨てて、位相空間での写像の連続性の定義をしようとしています。

この議論をする際の、「抽象は捨象」という言葉が非常に印象的でした。

同一視と不変量

同相写像による位相空間の同一視、そして同相写像で変化しない量として位相不変量があることが説明されています。

ちなみに、グラフの一筆書き（第1章）については、グラフ同型での不変量としてオイラー閉路があるそうです。

…グラフにはどういう位相を入れるんだろう？という疑問が出てきますね。

連続→極限→微分→微分同相

そして、119ページの次のような議論は考えたことがなく、非常に新鮮な印象を受けました。

「連続が定義できたってことは、極限が使えるわけだよね。だったら、連続だけじゃなくて微分も定義できるんじゃない？」
「そうはいかない。微分を定義するには位相構造だけではなく、微分構造を入れる必要がある。そして、微分のことまで考えたときの《同じ形》のことを微分同相という」

そのほか気になったことや感想など

学生時代は松坂和夫『集合・位相入門』を参考に位相空間論の勉強をしました。

集合・位相入門

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距離空間はイメージできたものの、一般の位相空間はなかなかイメージできずに、理解が不十分なままでした。

今一度、改めて『集合・位相入門』を読んでみたいと思いました。卒業時にこの本を手放してしまったのを後悔しています…。

2018-05-18

特集「複素関数の質問箱」まとめ（その1）～『数学セミナー 2018年6月号』読書メモ

数学本読書メモ数学セミナー

『数学セミナー 2018年6月号』の特集は「複素関数の質問箱」です。

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複素関数は学生時代に講義を通して勉強しましたが、理解不足で終わってしまった分野です。

印象として残っているのは、実関数とは違って複素関数は「定義域内のある部分集合上での性質がわかれば定義域全体での関数の様子がわかる」ということでした。ですので、今回の特集で改めて複素関数を知ることができると期待しています。

この特集の7つの記事のうち、最初の2つの記事を読みましたので、その内容をまとめます。

「複素数ってそもそも何なの？」（須川俊幸さん）

複素数の定義と様々な特徴づけについて書かれています。

複素数の定義

高校で習うレベルの内容なので、ここでは定義を省略しますが、次の特徴が説明されています。

複素数全体 $\mathbb{C}$ は体をなす。
複素共役 $\mathbb{C} \ni c \mapsto \bar{c} \in \mathbb{C}$ は体としての同型写像である。

また、複素数平面を使って考える幾何的特徴も説明されています。複素数 $z$ に複素数 $c$ を掛けることは、 $z$ を原点を中心に $\mathrm{arg} \ c$ 回転させて $|c|$ 倍引き延ばすことになります。

実数体 $\mathbb{R}$ を使った複素数体 $\mathbb{C}$ の3つの特徴づけ

$\mathbb{R}^2$ に演算を入れる

集合 $\mathbb{R}^2$ に、複素数の実部と虚部の和と積の演算結果を保つように和と積を定める。これにより $\mathbb{R}^2$ は体となり、 $\mathbb{C}$ と同型になる。

多項式環 $\mathbb{R}[x]$ を考える

1変数多項式環 $\mathbb{R}[x]$ を、多項式 $x^2+1$ が生成する単項イデアル $(x^2+1)$ で割った商環 $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$ は $\mathbb{C}$ と同型となる*1。特に、 $x$ が代表する同値類が虚数単位に対応する*2。

行列を使った特徴づけ

実数を成分にもつ2次正方行列全体 $M_2(\mathbb{R})$ の元として、 $I$ を単位行列、 $J := \left( \begin{array} {cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$ とする。 $J^2 = -I$ に注意すると、 $\{ aI+bJ \ | \ a, \ b \in \mathbb{R} \}$ は体をなし、 $\mathbb{C}$ と同型になる。 $J$ が虚数単位に対応する。

「複素数は存在するか？」

上のような特徴づけから、「実数が存在するのであれば、それと同時に複素数も存在する」と答えられるのではないかと述べられています。

奇しくも、2018年6月号の発売直前に次のようなブログを書きましたので、興味があればご覧ください。

wed7931.hatenablog.com

複素数の必要性とその拡張

3次方程式の解の公式（ $x^3-15x-4=0$ の解 $x=4$ の話がおもしろい）
代数学の基本定理
物理を議論する上での複素数の必要性
複素数を拡張した四元数体*3、さらに一般化したクリフォード代数*4

「複素関数論の中の実関数」（中村弥生さん）

この記事では、複素関数の特徴的な性質と複素関数に拡張したことで見えてくる実関数の性質について書かれています。

オイラーの公式

実関数を複素関数に拡張することの例として、 $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ の導出を扱っています。また、この式から三角関数の加法定理が得られます。

初等超越関数と特殊関数

本文中で説明されている関数についてのいくつかの用語を挙げます。

解析関数（または正則関数）: 収束するべき級数で定義される関数（例： $\displaystyle \cos z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n} \ (z \in \mathbb{C} )$ ）
初等関数: 代数関数、指数関数、三角関数、対数関数たちの線形結合、積、商、合成関数、逆関数をとる操作で得られる関数
初等超越関数: 初等関数のうち、特に代数関数ではないもの

楕円積分と楕円関数

不定積分が初等超越関数で表せない例として、楕円積分（例： $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^4}} dx$ ）とそこから得られる楕円関数が説明されています。*5

特殊関数

特殊関数について、ガンマ関数 $\Gamma (z)$ 、ゼータ関数 $\zeta (s)$ 、超幾何関数が挙げられています。実関数との関係として、次のことが説明されています。

ガンマ関数とゼータ関数の積は複素パラメータを持つ実関数に関する積分で書ける： $\displaystyle \zeta(s) \Gamma(s) = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s-1}}{e^x-1} dx$ 。
三角関数に関する実積分の値を求めるために、ガンマ関数の相反公式 $\displaystyle \Gamma(z) \Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin \pi z}$ などが用いられる。
素数定理はゼータ関数の性質が密接に関わっている。

$\mathbb{C} \cup \{ \infty \}$ 上の関数

実数の場合、数直線上の点が原点からどんどん離れていく場合のその行先を、正方向の極限としての $+ \infty$ と負方向の極限としての $- \infty$ の2種類を考えます。

複素数の場合で、複素数平面上の点が原点からどんどん離れていく場合のその行先を考えます。

実数のように大小関係がないために2方向の極限のみを考えるわけにはいきません。離れ方はさまざまで偏角に依存するため、最終的に行き着く先を方向の概念を持たない無限遠点 $\infty$ と考えます。

そのため、複素関数を $\mathbb{C} \cup \{ \infty \}$ から $\mathbb{C} \cup \{ \infty \}$ への関数ととらえることがあります。

なお、 $\mathbb{C} \cup \{ \infty \}$ はコンパクト空間で球面 $S^2$ と同一視できることが書かれています。

ローラン展開

複素関数では $\frac{1}{z}$ という関数の $z=0$ での振る舞いが大きな興味の対象だそうです。

実関数ではテイラー展開がありましたが、複素関数では負べきの項も込めたべき級数展開であるローラン展開が扱われます。展開の中心点について、負べきの項の個数によって次のような名前が付けられます。

極: 負べきの項が有限個
真性特異点: 負べきの項が無限個
除去可能特異点: 負べきの項がない

また、 $-1$ 次の項の係数を留数と呼びます。留数解析という言葉があるほど重要な数です。

感想

2つ目の記事にある無限遠点の考え方が初めて理解できました。

無限遠点というものがあることは知っていましたが、なぜそれを考える必要があるかがわかっていませんでした。

「原点からの離れ方は偏角に応じて無数にあるが、最終的に行き着く先を方向の概念を持たない無限遠点という1点とする」。

これが理解できたのが大きいです。

続きの記事の内容

複素微分と複素積分、正則関数の性質、複素対数関数の多価性、解析接続と続きます。

まずは正則関数の性質まで読むのを目標としたいと思います。

おまけ

2018年3月に複素関数についての気づきをブログに書きました。興味があればどうぞ。

wed7931.hatenablog.com

*1: $(x^2+1)$ が極大イデアルであることから従う。

*2:商環上で $x^2+1 \equiv 0$ となることからわかる。

*3:非可換体で、関数の微分を考えるときは左右からの割り算の区別が必要

*4:零因子を持つ。

*5:『数学セミナー 2017年4月号』から、「楕円積分と楕円関数 ― おとぎの国の歩き方」が連載されています。

2018-05-17

プログラミング教育の題材として筆算を扱うのはどうでしょう？

プログラミング教育数学算数

小4の長男の宿題として、最近は割り算の筆算がよく出てきます。

何度も反復練習をして、だんだん計算に慣れてきたようです。

振り返ると、これまでに足し算・引き算・掛け算・割り算の四則計算の筆算を学んだことになります*1。

f:id:wed7931:20180517112630j:plain

ここで、いったん立ち止まって考えてみます。

それぞれの筆算の手順を覚えてトレーニングを重ねて、計算できるようになったとします。

それでは、なぜその手順で計算できるかはどれくらい理解できているでしょうか。

自分が小学生だったころを思い出すと、その理由が理解できたのは、筆算を習ってしばらく経過してからでした。

理解できたきっかけは、何かの本で「割り算の商は、割られる数を割る数で引ける回数」であることを知ったことです。これを知ったときの衝撃はよく覚えています。

その後、プログラミングというものを知り、筆算はアルゴリズムの一つなんだということを知りました。

2020年から小学校でプログラミングが必修化されます。

私は具体的にどのような授業を展開するかはわかりません。

ある処理を行うためのアルゴリズムを考えて、それをプログラミング言語を使ってコーディングするという授業かもしれません。

もしそうだとしたら、アルゴリズムを考える取っ掛かりとして、小学生みんなに馴染み深い筆算を題材にするというのも一つの手ではないかと思いました。

筆算という既知の手順を復習し、アルゴリズムとして考える。
なぜこのアルゴリズムで計算できるかを考える。
四則計算をするための別のアルゴリズムがないかを考える。
使える演算を足し算と引き算に限定して、掛け算と割り算をするアルゴリズムを考える。

ざっと、このようなことができるのではないでしょうか。

これなら、PCが手元になくても、通常の教室で授業できて手軽ではないかと思っています。

*1:足し算と引き算の筆算は小2、掛け算は小3、割り算は小4で学習します。

2018-05-13

数式を含む文を日本語でどう読むか

教育読解力数学

中学校や高校の数学の教科書には、こんな文が書かれています。*1

$a < b$ のとき、 $a+c < b+c$ である。

この文を声に出して読むとしたら、どう読むでしょうか。

$x < y$ を「 $x$ 小なり $y$ 」と読むとしたら、

$a$ 小なり $b$ のとき、 $a+c$ 小なり $b+c$ である。

と読めます。

実際に、私が中学校で不等式を習ったときは*2、このような読み方を教わりました。高校まではこの読み方をよく聞きました。

しかし、この読み方は日本語としてやや不自然に思えます。そして、数学的な意味（この例では、数の大小関係）が直感的に伝わりにくい言い方です。

これを考慮すると、このような読み方をする方が自然です。

$a$ が $b$ より小さいとき、 $a+c$ は $b+c$ より小さい。

意味が伝わりやすい言い方になりました。しかし、よく見るとあることに気付きます。

元の不等式を含む文から、「のとき」の「の」や文末の「である」が消えています。

このように消える文字があるので、この読み方ができるようになるには慣れが必要かもしれません。

数式もひとつの言葉と考えれば、日本語として自然で伝わりやすい後者の読み方をした方がよいのではないかと思います。

個人的に、最近は読解力が気になっています。

数式を含む文の読み方を工夫して、数学の教科書を自然な日本語で声に出して読めるようになれば、読解力が上がるのではないかと思っています。

wed7931.hatenablog.com

*1:厳密には、「任意の実数 $c$ に対して」を書くべきですが、ここでは省略します。

*2:今は高校で不等式を習うようです。

2018-05-13

ストレスを減らしてみよう～床屋さん編

メンタルヘルス日記

昨日、37年の人生で初めて丸坊主にしてみました。

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もともと丸坊主の息子たちを床屋に連れて行って、ついでに自分の髪も切ってもらうことにしました。

いつもは「こう切ってほしい」とあれこれ話しますが、どう話すかを考えるのがいつもストレスでした。

高校まで住んでいた実家の近くの床屋さんは、黙っていても切ってくれる感じだったでした。

しかし、学生になって実家を出ると、髪を切ってもらうというほぼ毎月の行事が大変でした。

まずはどの床屋に入るか？入ったらどうお願いするか？特にこだわりもないし、どうお願いすればいいか？そして天然パーマなので、どう切ってもらっても時間が経つと、気になる部分が増えてくる。かといって、床屋さんに頻繁に行くのは面倒だし、行ったらお願いする内容で悩むし…。

床屋さんをやっている叔父に相談したこともありました。

それくらい、床屋に行くということ自体がストレスでした。

そして昨日、丸坊主にすれば、「何mmのバリカンで刈ってください！」でストレートに伝えられる！と思って、思い切って丸坊主にしてみました。

この髪型は意外と快適です。家族は慣れない髪型に戸惑い気味ですが、そのうち慣れるでしょう。

これで長年のストレスが一つ解消できたかなと思っています。

2018-05-09

「考えることに飽きる」「形が見えると力を弱める」という行動特性～水曜どうでしょうDVD副音声

水曜どうでしょう読書メモ

水曜どうでしょうDVD副音声、相変わらず運転しながら聴いています。

今回は2つの回でミスター自身が話していた行動特性が、自分にも当てはまると共感した話です。

【目次】

考え続けると、考えることに途中で飽きる。
ある程度の形が見えると力を弱める。
ちょっと面倒な行動特性なのかも。

考え続けると、考えることに途中で飽きる。

『アメリカ横断第2夜』の副音声での話です。

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ラスベガスのカジノ30分一本勝負の回です。副音声ではどうでしょうメンバーのギャンブルに対する見方が話題になります。

そこで、ミスターはこのような話をします。

自分はギャンブルには向いていない。
なぜなら、途中で考えることに飽きることがわかっているから。
将棋や麻雀のようなゲームは、最初は先読みしていろいろ考えるが、必ず途中で考えることに飽きてしまう。

これは自分も同じだと共感しました。

考えることは大好きなのですが、長い時間考え続けると途中で飽きる。特に飽きやすいのは

ゲーム
- TVゲーム（特にRPG）、将棋、麻雀など
終わりが見えないもの
- 仕事でいうと、運用保守のようなずっと続く仕事
終わりは見えるものの、それがはるか遠くでうっすらしか見えないもの
- 仕事でいうと、年単位の長期間プロジェクト

です。

こういう行動特性があるのが自分でわかっているので、上に挙げたような仕事などに着手することが億劫に思うことがあります。

ちなみに、数学などの知的好奇心をくすぐられるものは飽きにくいです。飽きないように考える時間を細切れにするなど、無意識にやっているのかもしれません。

ある程度の形が見えると力を弱める。

これは『シェフ大泉夏野菜スペシャル第1夜』での話です。

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荒れ地を開墾して野菜畑を作る回です。

この回の副音声では、開墾をするときの出演陣の働き方の話になります。具体的にはこういう話です。

大泉さん

最初の数時間はあまり作業をしていない。

その後、畑の形が見えてくると、作業に熱が入る。

ミスター

最初の数時間は一生懸命に作業をしている。

その後は大泉さんと逆で、完成形が見えてくると作業の力を抜く。

これもミスターと似ていると思いました。

1人で作業をする場合は、最初から最後まで1人で作業をすることは、それほど苦ではありません。

しかし、2人以上で作業をすることになると、設計や外枠を作るくらいまでは熱心に作業しますが、完成形が見えてくると力を抜き始めます。飽きに似ているのかもしれません。

前半のテーマと同じく、この行動特性が現れそうな予感がすると、心がざわざわしてきます。

ちょっと面倒な行動特性なのかも。

この2つの行動特性ですが、自分としてはちょっと面倒だなと思うことがあります。うまく言葉で表現できないですが。

といっても、これは直すことできないでしょうし、直すこと自体にあまり意味はないと思っています。

自分で特性が理解できているということが、まずは大事なんでしょうね。

2018-05-08

複素数をより受け入れられやすく導入するには？

数学教育

先日、複素数の導入に関連して、このようなツイートをしました。予想外にいろいろな反応があり、驚いています。

複素数の導入。多くは「2乗して-1になる存在しない数を虚数iとする」と教えられる。複素数が理解されづらい理由として「存在しない数」という否定的印象から入ることがあると思う。「iという新しい数を導入すると、こんなにいいことがある」という説明の方が第一印象がいいヤツに見えてgoodかと。
— 7931 (@wed7931) 2018年5月3日

「複素数は『存在しない数』として、否定的な表現で導入されることがある。有用性を強調すれば、より受け入れられやすいのでは？」という内容です。

このツイートは、2018/5/8 17:00時点で、278RTと902Favがありました。私のTwitter経験の中で最も多くの反響です。

私の見える範囲で、関連するツイートをモーメントにまとめました。

twitter.com

この中に興味深い意見がいくつかあったので、ピックアップします。

「存在しない」と「知らない」を区別する必要がある

存在しないと知らなかったは別。「そうすると嬉しい」事も「既知で小学校から散々利用した数直線上にはないよね」って事も云うが「存在しない」と云う説明はサボり過ぎではないかと思う。ちゃんとある。90度回すと考える事で世界が広がる事も云う。ただし時間が足りないのでそのあとは計算で経験値積み https://t.co/vU0XBKMckK
— ʇɥƃıluooɯ ǝıʇɐs 𖥶 (@tsatie) 2018年5月3日

これは私も大きく同意です。

実数の範囲では、2乗して-1になる数（虚数単位 $i = \sqrt{-1}$ ）は存在しない。
逆に、数の範囲はもっと広いと考えれば、 $i$ という新たな数がある。

この2つをごちゃごちゃにしているのが問題ではないかと考えています。

そもそも「存在する数」とは？

関連して、「『存在する数』とは何か？」という声もありました。

1は存在する？
自然数を認めたとして、整数（特に負の整数）、有理数、実数は存在する？

数学科出身の私としては、このような意見が出てくるのは自然だと思っています。

高校数学で「複素数」と「複素数平面」を学ぶタイミングが離れている

私の一つの結論はそこですね。複素平面は数Ⅲになってしまうんですが、複素数にリアリティを持ってもらい、またそのありがたみの一端を実感してもらうには、一つは数Ⅱで複素平面に片足突っ込むことなのかなと。 https://t.co/FNcnTfCD8q
— MER (@MathEdr) 2018年5月4日

私の高校時代を思い出すと、複素数の有用性やおもしろさを味わえたのは複素数平面でした。

複素数の極形式と三角関数の関係や複素数の積を使った回転の表現を知り、複素数がすごいものだと感動した記憶があります。

これは学習指導要領に関係があると思われます。

私が高校に入学した1996年度は、数学Bで複素数の導入と複素数平面が同時に扱われていました。複素数を知って、すぐに複素数平面での応用を学びました。

その後の学習指導要領の改訂で、

1999年改訂：複素数の導入は数学Ⅱ、複素数平面は高校数学で登場せず。
2008年改訂：複素数の導入は数学Ⅱ、複素数平面は数学Ⅲで学ぶ。

というようになります。

つまり、複素数平面を学ばなかったり、学んでも複素数の導入から1年程度経過してからという形になりました。*1

そのため、複素数の有用性やおもしろさを味わいにくいのではないかと思っており、そのようなツイートも多くありました。

複素数の導入のアイディア

このツイートのアイディアは目からうろこでした。

「-1を掛けるということは180°の回転とみなせるよね。では、2回かけると180°の回転になるようなものは何かなあと考えると、90°の回転かなあと考えるのは自然だよね。そうするとほら、数の世界が直線上の左右の運動から平面の二次元に拡がった！」とか教えたいな。
— Masao SUZUKI㌠ (@masaopus25_7) 2018年5月3日

既知の数直線では、-1を掛けることは原点中心に180度回転させることに相当する。

ということから自然に話題を展開させるのは素晴らしいです。

おわりに

このほかにもいろいろなお話がありました。

物理学での式の記述に必要であることが有用性の一つ*2
なぜ虚数の導入だけが特別扱いされるのか？
そもそも、高校レベルでは「数を導入する」という概念がない／存在しないのかも。
代数学の基本定理にまでつながる話

予想以上にいろいろ勉強になりました。みなさんありがとうございました。

*1:参考：http://www.p.u-tokyo.ac.jp/lab/ichikawa/johoka/2008/Group1/keisan7.htm

*2:この記事に詳しく書いています。tdual.hatenablog.com

第3章のキーワード

数式が出てこないのはやっぱり気になっていた

一般化と特殊化

同一視と不変量

連続→極限→微分→微分同相

そのほか気になったことや感想など

「複素数ってそもそも何なの？」（須川俊幸さん）

複素数の定義

実数体 を使った複素数体 の3つの特徴づけ

に演算を入れる

多項式環 を考える

行列を使った特徴づけ

「複素数は存在するか？」

複素数の必要性とその拡張

「複素関数論の中の実関数」（中村弥生さん）

初等超越関数と特殊関数

楕円積分と楕円関数

特殊関数

上の関数

感想

続きの記事の内容

おまけ

考え続けると、考えることに途中で飽きる。

ある程度の形が見えると力を弱める。

ちょっと面倒な行動特性なのかも。

「存在しない」と「知らない」を区別する必要がある

そもそも「存在する数」とは？

高校数学で「複素数」と「複素数平面」を学ぶタイミングが離れている

複素数の導入のアイディア

おわりに

実数体 $\mathbb{R}$ を使った複素数体 $\mathbb{C}$ の3つの特徴づけ

$\mathbb{R}^2$ に演算を入れる

多項式環 $\mathbb{R}[x]$ を考える

$\mathbb{C} \cup \{ \infty \}$ 上の関数