7931のあたまんなか

数学／読書メモ／自分の考え方／水曜どうでしょう／交通関係（道路・航空）など、頭の中にあることを書き出しています。

『数学ガール／ポアンカレ予想』第2章　読書メモ

数学 数学ガール 読書メモ

『数学ガール／ポアンカレ予想』をブログにメモを取りながら読み進めています。

第1章のメモはこちらです。

wed7931.hatenablog.com

今回は第2章『メビウスの帯、クラインの壺』についてのメモです。

数学の分野としては第1章と同じく位相幾何学ですが、第2章の方が読み進めるのに苦労しました。おそらく、平面から空間をイメージするのが難しかったのだと思います。

【目次】

第2章のキーワード

  • 閉曲面ではない曲面：シリンダー、メビウスの帯
  • 閉曲面である曲面：球面、トーラス、クラインの壺、射影平面
  • 閉曲面の向き付け可能性
  • 閉曲面の展開図と貼り合わせ、連結和
  • 閉曲面の分類

学生時代に一度勉強して、用語は聞いたことはあるけど…

この章の内容は、学生時代に講義を通して、一度勉強した内容でした。

閉曲面や向き付け可能性という用語、辺の同一視による貼り合わせの概念などは知っていました。ですが、読み進めることで、記憶が断片的で内容がほぼ理解できていないことがわかりました。

特に、最も基本となる閉曲面の定義があやふやでした。「境界がない」という重要な性質があることを忘れていました。

しかし、じっくり読んでいくことで、理解を進めることができてうれしい気持ちになりました。

貼り合わせをじっくり考えてみた。

「閉曲面の展開図を考えて、辺を同一視して貼り合わせる」という概念が、この章のポイントです。

貼り合わせについて、納得するのに時間がかかったポイントが3つあります。それを説明します。

(1) 射影平面のイメージが難しかった。

球面やトーラスの展開図は容易にイメージできましたが、射影平面のイメージがなかなかできませんでした。

ですが、本文中にある図を完成形として先に頭に入れて考えることで、イメージができました。

こちらの動画も非常にわかりやすいです。*1


The cross-cap

(2) クラインの壺の展開図が 12\bar{1}2 でも 1122 でもいいのはなぜ？

閉曲面の分類の中で出てくるこの事実。理解するのに苦労しました。

本文中では、 12\bar{1}2 の展開図を半分に切って反転させて貼り合わせるという方法で説明しています。

自分が引っ掛かったのは、「反転させて貼り合わせる」という部分です。反転させていいの？と思ったわけです。

よく考えて、反転させても問題ないと納得しました。こういう道筋で納得しました。

  • クラインの壺の展開図からいったん離れて、例えば立方体の展開図を考える。
    • 6個の正方形のうち1個を切り取って、対応する辺を貼り合わせることを考える。
    • 正方形は反転させても合同で表裏はないから、反転させても対応する辺を貼り合わせれば、正しい展開図になる。
  • クラインの壺に戻る。
    • 展開図を半分に切るのはOK。
    • 切った断片は伸縮可能で表裏はないから、立方体と同じ考え方で、対応する辺を貼り合わせさえすれば正しい展開図になる。

(3) クラインの壺 ＝ 球面と射影平面2個の連結和？

紙に図を何個も描いて納得しました。最初は頭の中だけで考えていましたが、ギブアップして基本に立ち返って紙に描きました。

考えた道筋はこちらです。

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そのほか気になったことや感想など

2人乗りの浮き輪と八角形の関係

  • 八角形の辺を貼り合わせると、2人乗りの浮き輪になることは知っていた。
  • その逆の「2人乗りの浮き輪を展開すると八角形になる」ことを明確に意識したのは初めてかもしれない。

メビウスの帯の重要性を認識

貼り合わせについてのミルカさんの言葉

  • 「図形と展開図の対応が頭の中で付けられるなら、実際に3次元的に貼り合わせる必要はもうない。矢印の付いた辺同士を、向きを合わせて同一視すればいいのだから。数学での図形の貼り合わせは、同一視に他ならない」（55ページより引用）
  • 数学をする上での重要なキーワードは同一視。

*1:結城さんがTwitterで紹介されていました。

数学で使うアルファベットの書き方のこだわり

数学

数学では、数字やアルファベットはもちろんギリシャ文字を使います。

アルファベットもイタリック、太字、フラクトゥール（ドイツ文字）などのいろいろな書体を使います。

数学関係の本や論文ではこれらの書体を混ぜて使うのが普通です。例えば、下の画像にある私の修士論文でも同じです。

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この文字を手書きでどう書くか。講義の板書を真似したり、自分で書いてみるなど試行錯誤があります。

ここでは、私が手書きでどう書くかのこだわりをまとめておこうと思います。*1 おそらく、人よりもこだわりが強いんじゃないかと思っています。

数字の書き方

まずは数字から。

1の書き方にこだわりがあります。それ以外は普通です。

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アルファベットの書き方

ローマン ～ 基本となる書き方

まずは基本のローマンです。

自分の中のルールでは、 \mathrm{lim} や \mathrm{Sin}^{-1} などはローマンで書くようにしています。

「Cとc」や「Sとs」など大文字と小文字が同じ形でも特に区別はつけません。

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イタリック ～ 大文字と小文字の区別をつける

y = f(x) のように通常の数式を書くために使うイタリックです。

こちらは、大文字と小文字の区別をつけるのがこだわりです。*2

また、 U と V は集合・論理演算で使う \cup と \vee と区別できるようにしています。

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ちなみに、 b, \ h, \ k はかなり試行錯誤がありましたが、ここでは省略。

太字*3 ～ 人によって個性がある印象

実数全体を表す \mathbb{R} やベクトルを表す \mathbf{a} *4 などで使われる太字です。

イタリックに1本加えて書くことを基本としています。

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どこに1本を加えるかは、人によって個性がある印象があります。

花文字 ～ 筆記体のようなもの

フーリエ変換の \mathscr{F} などです。TeXでは \mathscr{F} と書きます。

アルファベットの筆記体をベースにしています。なかなかうまく書けないんですが…。

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\mathcal{F} で書く \mathcal{F} も同じ書き方にしています。

フラクトゥール ～ すべての文字は書けません

ドイツ文字とも呼ばれるフラクトゥール。Lie群を表す \mathfrak{g} や \mathfrak{sl}(n, \mathbb{K}) 、べき集合 \mathfrak{P}(X) で使われます。

Lie群の表現論が専門だったので、フラクトゥールの小文字は日常的に書いていました。書き方は講義の板書を参考にしました。

書ける文字だけ書いてみました。

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ギリシャ文字の書き方

\eta, \ \nu, \ \omega などはアルファベットの小文字と判別できるようにこだわっています。

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おわりに

ほかにも数学記号の書き方のこだわりがいくつかありますが、また別の機会にします。

また、数学セミナー増刊の『数学ガイダンス2018』の間瀬茂さんの記事「数学記号とギリシャ文字について」が文字の書き方の注意などがあり、おもしろい内容でした。

数学ガイダンス2018 数学セミナー増刊 (　)

数学ガイダンス2018 数学セミナー増刊 (　)

*1:あくまで私個人の一例です。

*2:大文字 O と小文字 o は例外。

*3:ここでは、ボールドと黒板太字の両方を合わせて太字と言っています。

*4:本当は \bm{a} で書きたい。

Androidスマホの機種変更作業メモ

スマホ 携帯電話

2018年4月にスマホの機種変更をしました。
Androidスマホで、Xperia Z5からXperia XZ1への乗り換えです。

www.sonymobile.co.jp

機種変更のために必要な作業は基本的に自分で行いました。

2年後にまた機種変更をすると思いますが、そのときにも同様の作業をすることになるはずなので、この記事にメモしておきます。

なお、Xperiaへの機種変更のために使う移行ツールとして「Xperia Transfer」*1が提供されていますが、今回は利用していません。*2

以下、機種変更前のスマホを「旧スマホ」、機種変更後のスマホを「新スマホ」と書くことにします。

前提

携帯ショップに旧スマホを持ち込む前の作業

LINEの事前作業

モバイルSuicaの事前作業

【注意】SIMカードを抜いたスマホでは、モバイルSuicaのメニュー画面を出せなくなるので、旧スマホで事前作業を必ず実行する。

【参考】事前作業を忘れた場合は、機種変更後に以下の作業のいずれかが必要になる。*3

  1. PCからモバイルSuicaを退会する。残額は手数料（220円～）を引かれた上で、退会時に入力する銀行口座に振り込まれる。退会した翌朝以降に同一メールアドレスで入会手続きができる。
  2. モバイルSuicaの再発行手続きをする。手数料は510円。

他のアプリの事前作業

  • 機種変更後に旧スマホをWi-Fi環境下で使えれば、携帯ショップに行く前に他のアプリの事前作業は不要。

携帯ショップでの作業

  • 各種契約手続きを行う。
  • 携帯ショップで移行するものは、SIMカードと電話番号と電話帳くらい。
    • Googleアカウントなどは自分で作業を行う。

携帯ショップでの機種変更後に作業

Wi-Fi通信を可能にする

Google関係の設定

  • 新スマホで使用するGoogleアカウントを入力する。
    • 2段階認証で認証システムを利用している場合、コードは旧スマホから取得できる。
  • インストールするアプリをGoogle Playストアのマイアプリから選択して、ダウンロード＆インストールを行う。

au関係のアプリを使えるようにする

  • au関係の以下のアプリを実行して、利用できるようにしておく。
    • My au、auメール、au災害対策、au WALLET

LINEの設定

Google認証システムの設定

  • 認証システムを使うシステムでワンタイムのコードを使えるようにする。
  • 各システムのWebサイトのセキュリティ設定のページを参照する。

モバイルSuicaの設定

Edyの移行

nanacoの移行

QUICPayの移行

Pontaの移行

ヤマダ電機 ケータイdeポイントの移行

JAFデジタル会員証の移行

その他のアプリ

  • その他のアプリはログインIDとパスワードを入力すれば基本的にOK。*4

*1:https://www.sonymobile.co.jp/xperiatransfer/

*2:利用しない理由：移行ツールがうまく機能しなかった場合のリカバリが大変そう

*3:今回は事前作業を忘れたため、退会手続きを行いました。

*4:あくまで私が利用しているアプリの範囲内です。

コミュニケーション手段の発達を同期性の視点で考えてみた

ひとりごと

Twitterを見ていると、「電話が苦手」「電話で連絡するのは避けてほしい」という声をよく見かける。

自分も電話は苦手なタイプ

電話で話すときは相手の表情が見えないから、自分の話が相手に伝わっているか、そして相手の話を自分が受け取れているかが不安。

そのせいか、言葉だけでものごとを伝えること自体に苦手意識がある。苦手な理由はほかにもありそう。

そこで疑問に思った。

「電話が苦手」という意識はどこから出てくるんだろう？

考えてみると、それはコミュニケーション手段の進化の歴史にあるんじゃないかと。

いろいろなコミュニケーション手段

手紙

人間対人間の会話以外のコミュニケーションで、最初期に生まれたのは手紙だろう。

伝えたいことを紙に書いて、その紙を配達によって相手に渡す方式。

電話（固定電話）

手紙と違って、ほとんどタイムラグなく相手と言葉を使って会話できる。

ただ、お互いに電話がある位置に物理的に居る必要がある。

携帯電話

タイムラグなく言葉で会話できるのは固定電話と同じ。

でも、人間と携帯電話は基本的に同じ位置にいるので、時間と場所を選ばない。

電子メール

相手に向かってメールを送信する。ほとんどタイムラグがなく、相手に届かせることができる。

相手は好きなタイミングでメールが読めるし返信もできる。受信者は返信しない権利も持っているというのもおもしろい。

LINE

これもメッセージを送信すると、タイムラグなく相手に届く。

相手は好きなタイミングでメッセージが読めるが、読んだかどうかが送信者にわかるので、メールのような「返信しない権利」はやや制限される。

コミュニケーション手段が増えてきた

手紙、固定電話、携帯電話、電子メール、LINEのようにコミュニケーション手段が増えてきた。*1

例えば、手紙・固定電話・携帯電話しかない時代では、「電話が苦手」と思っても手段が限られていたので、やむなく受け入れていたはず。

でも、今はユーザがいろいろな手段を選べるようになり、「電話が苦手」という声を上げる人が増えているのかもしれない。

コミュニケーション手段の歴史を別の視点で見てみる

同期性

それぞれの手段でコミュニケーションを取る2人が同期して行動する必要があるかを考えてみる。

  • 手紙：非同期
  • 固定電話：同期
  • 携帯電話：同期
  • 電子メール：非同期
  • LINE：非同期*2

スピード

コミュニケーションのスピードで見ると、こうなる。

  • 手紙は遅い（一般に数日かかる）
  • 固定電話以降は速い

高速かつ非同期の手段が出てきた。

手段の発生順で見ると、次のように並ぶ。

  • 低速・非同期（手紙）
  • 高速・同期（固定電話、携帯電話）
  • 高速・非同期（電子メール、LINE）

仕事をする上では、コミュニケーションが高速で割り込みが少ない方がスムーズに進む。

これを実現するような手段として、高速かつ非同期のコミュニケーション手段が出てきたのが興味深い。

*1:LINEの次にSlackと書きたかったけど、残念ながら使ったことがありません…。

*2:既読機能を考えると、「非同期」感はやや落ちる？

特集「教科書だけじゃない！数学の本」～『数学セミナー 2018年5月号』読書メモ

数学 本 読書メモ 数学セミナー

『数学セミナー 2018年5月号』の特集は「教科書だけじゃない！数学の本」です。

数学セミナー 2018年 05 月号 [雑誌]

数学セミナー 2018年 05 月号 [雑誌]

タイトルにもある通り、数学の本というと教科書に加えて、参考書や問題集が思い浮かびます。実際に、私が中学生や高校生のころは参考書や問題集を読んで、問題演習をしていました。

大学に入ると、数学の専門書（数学書）に加えて、数学関係の雑誌やノンフィクションの本があることを知ります。学生時代は講義などの内容を把握するのに一生懸命で、数学の専門書ばかりを読んでいました。

ほかにもいろいろな数学関連の本がある

この特集では、次のような切り口で数学関係の本を紹介しています。

  • 数学のノンフィクション、一般向け啓蒙書
  • 数学小説・マンガ
  • 数学関係の雑誌
  • （数学者を含めて）科学者自身が書いたエッセイ
  • 数学パズルや数学ゲーム*1に関する本
  • 江戸時代の数学の教科書『塵劫記』

この中のいくつかについて、自分が読んだ本や気になる本を挙げてみます。

数学のノンフィクション、一般向け啓蒙書

この手の本では、フェルマーの最終定理に関する本は2冊読んだことがあります。詳しくは以前書いた記事を読んでください。

wed7931.hatenablog.com

1年ほど前に『数学する身体』（森田真生 著）を読み、とても引き込まれました。数学の歴史に興味が出てきました。

数学する身体

数学する身体

最近気になるのは、『数学の大統一に挑む』（エドワード・フレンケル 著、青木薫 訳）です。NHK Eテレで放送されていた『数学ミステリー白熱教室』を見て興味がわきました。

数学の大統一に挑む

数学の大統一に挑む

数学小説・マンガ

まずは、本文でも紹介されている『数学ガール』シリーズ。

数学ガール/ポアンカレ予想 (「数学ガール」シリーズ6)

数学ガール/ポアンカレ予想 (「数学ガール」シリーズ6)

最新刊の『ポアンカレ予想』はいま読んでいます。既刊の5冊はすべて読みました。『数学ガール』は10年近く下火になっていた私の数学熱に火をつけた本です。

これ以外の小説やマンガはほとんど読んだことがありません。数学以外でも、小説やマンガは読むことがないので。

本文では10冊程度紹介されていて、こんなにたくさんあるのかと驚きました。

数学雑誌

『数学セミナー』は定期購読を始めて1年以上が経ちました。

大学レベルのいろいろな分野の数学を毎月ざっくりと俯瞰できるのが楽しいところです。大学時代によくわからなかった内容が理解できるようになる経験も多くあります。

今考えると、学生時代からきちんと読んでおけばよかったという後悔があります。

おもしろかった本と気になる本を1冊ずつ

おもしろかったのは数学の絵本。

『アリになった数学者 (月刊たくさんのふしぎ2017年9月号)』（森田真生 著）は、絵本と言いながらもかなり深い話です。

アリになった数学者 (月刊たくさんのふしぎ2017年9月号)

アリになった数学者 (月刊たくさんのふしぎ2017年9月号)

気になる本は『サッカーマティクス 数学が解明する強豪チーム「勝利の方程式」』（デイヴィッド・サンプター 著、千葉敏生 訳）。

サッカー好きの友人が勧めてくれました。スポーツと数学の関係はどうなっているんだろう？と気になります。

サッカーマティクス 数学が解明する強豪チーム「勝利の方程式」

サッカーマティクス 数学が解明する強豪チーム「勝利の方程式」

*1:本文では、レク・マス（Recreational Mathematics）と総称しています。

『ゴリパラ見聞録』がおもしろい！ ～ 『水曜どうでしょう』に似た魅力

テレビ 水曜どうでしょう

高校2年のときに友人から勧められた『水曜どうでしょう』。

一気にはまり、放送を毎回録画し、ファンサイトを立ち上げるなどしました。今もDVDは欠かさず買っています。

2002年に『水曜どうでしょう』がレギュラー放送が終了してからは、テレビを見る時間が減り、はまり込んでしまうような番組は出てきませんでした。

『ゴリパラ見聞録』にはまり始めました。

そういう状況の中、最近、はまり込んでしまいそうな番組が出てきました。

テレビ西日本制作の『ゴリパラ見聞録』です。

www.tnc.co.jp

福岡県のテレビ局の番組ですが、全国の複数のテレビ局やフジテレビのCSチャンネル（フジテレビONE/TWO/NEXT）でも放送されています。*1

基本的には旅番組。『水曜どうでしょう』に似た魅力も。

『ゴリパラ見聞録』は、タレント3人とディレクター2人の合計5人（全員男性）で日本全国を旅する番組です。

人数こそ違えど、同じ旅番組である『水曜どうでしょう』と似たような魅力があります。

具体的に挙げてみます。

  • 車での移動がほとんど。車内のトークがおもしろい。
  • 行き当たりばったりの旅の様子をそのまま放送している。
  • タレントさんの個性というか素顔が丸出しのトークがおもしろい。
  • ちょっとしたいざこざ（？）もあり。

そして、居酒屋でのお酒を飲みながらのトークが個人的に大好きです。

おもしろさもあり、ときには考えさせられることもあり。いろいろな悩みを抱えている人が見ると、いいヒントがあるかもしれません。

藤村Dと嬉野Dの出演回もあります。

『ゴリパラ見聞録』には、『水曜どうでしょう』の藤村Dと嬉野Dも出演していて、DVDで見ることができます。

ゴリパラ見聞録 DVD Vol.7 ( 初回限定特典「ゴリパラ一献すごろく」封入）

ゴリパラ見聞録 DVD Vol.7 ( 初回限定特典「ゴリパラ一献すごろく」封入）

『水曜どうでしょう』マニアにもおすすめの1枚です。

*1:2018年4月現在、関東ではテレビ神奈川(tvk)やTOKYO MXなどで放送中です。

『数学ガール／ポアンカレ予想』第1章　読書メモ

数学 数学ガール 読書メモ

『数学ガール』シリーズの第6巻『数学ガール／ポアンカレ予想』、とても楽しみにしていました！

数学ガール/ポアンカレ予想 (「数学ガール」シリーズ6)

数学ガール/ポアンカレ予想 (「数学ガール」シリーズ6)

発売前に目次を見たところ、位相空間・非ユークリッド幾何学・位相幾何学・微分幾何学・微分方程式などを約400ページで概観する内容だと理解しました。

どれも学生時代に消化不良に終わった部分です。*1

これまでで最も苦戦することが予想されますが、なんとか読み進めたいと思います。*2

『ポアンカレ予想』を読むにあたって

つまずいた部分や証明を要した部分、気になった部分をブログにメモしながら読もうと思います。今のところ、章単位に記事を作る予定です。

というわけで、第1章『ケーニヒスベルクの橋』からスタートです。

第1章のキーワード

  • 一筆書きができるための必要条件と十分条件
  • グラフ（頂点、辺、頂点の次数、ループ、有限性、連結性）

奇点が0個のグラフを一筆書きした経路がループになること

22ページに書いてある内容です。

ここで考え込みましたが、次のように考えて解決しました。

【証明】
奇点が0個のグラフが一筆書きできたとして、その経路がループにならない（つまり、始点≠終点）と仮定する。
これは14ページの2つ目の●の場合であり、始点と終点がどちらも奇点であることになる。
これは奇点が0個であることに反する。（証明終わり）

「ループ」は辺だけでなく頂点も含む

24ページに一筆書きの経路の構成方法が書かれていて、「ループの中から、まだたどっていない辺を持つ頂点を見つける」とあります。

ノートに図を描きながら読んでいましたが、「ループは辺のみで構成される（頂点は含まない）」と思っていたためにハマりました。

ループはグラフの一部なので、辺だけでなく頂点も含むと気づいて解決しました。

連結なグラフだから辺はすべて取りつくせる？

33ページのユーリの鋭い指摘に対する僕の回答の理解がまだ不十分です。

グラフの連結性と連結成分の関係がうまくつかめていないので、ここは宿題にしておきます。

大学で位相空間を学んだときも、連結性の議論は苦手だったなぁ…。

（2018/4/20 追記）理解できました！

この記事を書いた後、Twitterで ぼんてんぴょん(Bontenpøn)さん に教えていただき理解できました！教えていただいた内容を引用します。

作ったループの各頂点を始点として、同じ作業を再帰的に呼び出すイメージを持つと分かりやすいかもしれません。
この再帰呼び出しは、（ループを取り除いたあとで）孤立していない頂点だけに対して行うと考えても悪くはないけど、そんなの関係なくループの全頂点に対して呼び出して、ただ未踏の辺がないときは何もせずに即座に戻ってくると考えた方が良い。
そうすると結局、「辺がゼロ本の連結グラフ（つまり一点のみ）は一筆書できる」という事実に行き着き、逆にそれを出発点として、辺の数の帰納法で任意の本数の辺を持ち、偶点のみからなる連結グラフが一筆書できることを示せる。
（引用元：https://twitter.com/y_bonten/status/986971706727133184）

再帰的という言葉でピンときました。24ページの《グラフで一筆書きする手順》は再帰的手続きだと気付かせてくれました。

ありがとうございました！

そのほか気になったことや感想など

  • 一筆書きの必要条件と十分条件。聞いたことはあるけど、頭から抜けていました。いい復習になりました。
  • 連結性が出てくるということは、グラフに対して何か位相が入るということ？どんな位相？
  • そもそも「グラフ」は集合の言葉でどのように書き下すんだろう？頂点と辺の単なる直和集合ではないよなぁ。（いつかやった気がする）
  • 問題1-2を考える際に、反例から有限性や連結性の条件を付け加えたところがおもしろかった。

次の記事（第2章のメモ）

第2章『メビウスの帯、クラインの壺』のメモはこちらです。

wed7931.hatenablog.com

*1:幾何学全般が苦手です。中学の平面図形あたりから。

*2:これまで最も苦戦したのは『ゲーデルの不完全性定理』、次が『乱択アルゴリズム』でした。