2018-05-29

数学の本を読むのは楽しいけど、問題を解くのはそうでもない。

以前から少し気になっていたことを何気なくツイートしてみました。

数学の教科書や参考書を読むのはすごく楽しい。
でも、数学の問題を解くのはそれほどワクワクしない。

大学入試の2次試験の問題は解ける自信があまりない。
でも、解答例を読むのは好き。

「読む」と「解く」にある差は何なんだろう？
— 7931 (@wed7931) May 29, 2018

最近は『数学セミナー』や大学数学の教科書などを読んで、内容が理解できるのがとても楽しいと思っています。

一方、数年前は趣味で高校数学の問題を解いていましたが、あまりワクワクせずに途中で終わってしまいました。

この差は何だろう？と思っていて、ツイートをしました。

いくつかの反応がありましたので、ご紹介します。

数学は「解ける」ことが重要視されているのでは？

これ結構気になる話題ですね。

数学も「読める」ことより「解ける」ことの方が重要視されてる気がします。扱いの差は何なのでしょう。
数学は「解く」学問だと思われてる節があるような気がします。それで毛嫌いする人も一定数いそうです。 https://t.co/D0xLBJdm5Y
— ぶっちー (@buti_buti_oki) May 29, 2018

なるほど！と思いました。

確かに、高校までの数学ではこの傾向が強いなと。ある意味で必然なのかもしれません。

自分にとって、「数学の本を読む」ということは大学で数学を勉強することで知りました。

このツイートに対して、このような反応をしました。今考えると、少し的外れかもしれません。

数学では「解ける」ことが重要視されているっていうのは、そうかもしれないですね。
ひとりで解いて終わりなら出来不出来が第三者にわからない。でも、学校だと先生や友達に出来不出来がわかって、できない（＝解けない）とだんだん数学が嫌いになる。
推測ですが、こういうことがありそうですね。 https://t.co/Q4mXUyUF9T
— 7931 (@wed7931) May 29, 2018

ある程度の見通しというか結果が予見できる方が気持ちいいから？

面白いですね。
「AならばBを導け」みたいな証明問題に限ると、答え(=証明)を読むと、AとBの定義や関係する性質の関連性が分かるのでそれが面白いんだと思います。証明問題を解こうとすると、関係性が分からない状態で手探りでそれを見つける必要があるのでワクワクしないのかもしれません。
— Loveブルバキ(ラブル) (@lovebourbaki) May 29, 2018

このツイートは自分のことを言い当てているように思えて、ドキッとしました。

数学に限らず、自分にとって、ある程度の見通しというか結果が予見できる方が気持ちいいことが多いです。

逆に、手探りで何かを見つけるのはあまりワクワクしません。

これまでの仕事の進め方を考えても、その通りだなと思いました。

このツイートが端的に本質を突いている？

受動と能動 https://t.co/ioldVAdert
— T.Ta (@okinawa39tama) May 29, 2018

おっしゃる通りという感想です。このツイートもドキッとしました。

2018-05-28

特集「複素関数の質問箱」まとめ（その2）～『数学セミナー 2018年6月号』読書メモ

数学本読書メモ数学セミナー

『数学セミナー 2018年6月号』の特集「複素関数の質問箱」を引き続き読んでいます。

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前回は、複素数の定義とその性質、そして複素関数と実関数の関係についてまとめました。

wed7931.hatenablog.com

今回は複素関数の微分について、「複素微分とはなんですか．ふつうの微分とはどう違うのですか．」（金子元さん）をもとにまとめました。

この記事で扱っているのは、次の3つです。

複素微分の定義
コーシー・リーマンの関係式
正則関数の性質

なお、今回は手書きの資料をベースに記事を構成しています。見づらい部分がありましたら、申し訳ありません。

複素微分の定義とコーシー・リーマンの関係式

まとめの概要は以下の通りです。

実数値1変数関数の微分と実数値2変数関数の偏微分の性質のおさらい
複素関数の微分の定義とその性質
3種類の関数の共通点：“線形写像で近似できる”こと
コーシー・リーマンの関係式の導出

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複素関数は“角度を保つ”写像

上で見てきた $h(z)=zF'(z)$ を違う見方で考えます。

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正則関数の性質と解析関数

概要は以下の通りです。

正則関数：領域上での複素微分可能性
$k$ 階導関数：実関数と同様の定義
解析関数：べき級数展開可能な関数
上の3つは、複素関数では“同値”な概念
- やや雑な言い方をしています。

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その他

本文では、一致の定理や上記の性質が実関数では成り立たない例が書かれています。

なお、一致の定理の詳しい議論は後続の記事に書かれています。

個人的な感想

コーシー・リーマンの関係式は学生時代に勉強したことがありますが、その式を導出するための動機付けが初めてわかりました。

ちなみに、学生時代は複素関数が実部と虚部を表す2変数関数を使って $F(z) = \varphi(x,y) + i \psi(x,y)$ と表せることが、なぜか納得できませんでした。おそらく、関数（写像）の概念の理解が不十分だったためだと思います。

手書き資料のPDF版

これまでに説明した5枚の手書き資料をPDFにして以下の場所に置きました。

www.dropbox.com

2018-05-21

『数学ガール／ポアンカレ予想』第3章　読書メモ

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『数学ガール／ポアンカレ予想』をじっくり読んでいます。

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今回は第3章の読書メモです。

前回の第2章のメモはこちらです。

wed7931.hatenablog.com

第3章のタイトルは「テトラちゃんの近くで」。数学の分野で言うと、位相空間論がテーマです。

個人的には、第2章までの位相幾何学よりもなじみがある分野なので、すんなり読むことができました。

【目次】

第3章のキーワード
数式が出てこないのはやっぱり気になっていた
一般化と特殊化
同一視と不変量
連続→極限→微分→微分同相
そのほか気になったことや感想など

第3章のキーワード

関数の極限値と連続性（εｰδ論法）
合同と相似
位相空間と開集合の公理
開近傍と連続写像
同相写像と位相不変量

数式が出てこないのはやっぱり気になっていた

83ページに、第2章までのトポロジーの議論についてテトラちゃんの不安が書かれています。

「気になっているのは、数式が出てこない点です。絵を描いて終わりにしていいのかな、なんて」
（中略）
「数式が出てこないと、まちがったことをやっていないのかなと考えてしまうんです。伸ばしたらこうなりますね、貼り付けるとこうなりますね、数学なのに、それでいいんでしょうか。あたしは、まちがうのが恐いんです」

第2章まで読んで、自分もまさに同じことを思って、モヤモヤしていました。

この章で位相空間としての同相写像が定義されたので、この後にこのモヤモヤが解消されるかなと期待しています。

一般化と特殊化

この章には、一般化と特殊化（抽象化と具体化）の例が出てきます。

一つは、合同と相似。（1:1 と 1:r と見なせる。）

もう一つは、距離空間と位相空間。

距離空間から距離を捨てて、位相空間での写像の連続性の定義をしようとしています。

この議論をする際の、「抽象は捨象」という言葉が非常に印象的でした。

同一視と不変量

同相写像による位相空間の同一視、そして同相写像で変化しない量として位相不変量があることが説明されています。

ちなみに、グラフの一筆書き（第1章）については、グラフ同型での不変量としてオイラー閉路があるそうです。

…グラフにはどういう位相を入れるんだろう？という疑問が出てきますね。

連続→極限→微分→微分同相

そして、119ページの次のような議論は考えたことがなく、非常に新鮮な印象を受けました。

「連続が定義できたってことは、極限が使えるわけだよね。だったら、連続だけじゃなくて微分も定義できるんじゃない？」
「そうはいかない。微分を定義するには位相構造だけではなく、微分構造を入れる必要がある。そして、微分のことまで考えたときの《同じ形》のことを微分同相という」

そのほか気になったことや感想など

学生時代は松坂和夫『集合・位相入門』を参考に位相空間論の勉強をしました。

集合・位相入門

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距離空間はイメージできたものの、一般の位相空間はなかなかイメージできずに、理解が不十分なままでした。

今一度、改めて『集合・位相入門』を読んでみたいと思いました。卒業時にこの本を手放してしまったのを後悔しています…。

2018-05-18

特集「複素関数の質問箱」まとめ（その1）～『数学セミナー 2018年6月号』読書メモ

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『数学セミナー 2018年6月号』の特集は「複素関数の質問箱」です。

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複素関数は学生時代に講義を通して勉強しましたが、理解不足で終わってしまった分野です。

印象として残っているのは、実関数とは違って複素関数は「定義域内のある部分集合上での性質がわかれば定義域全体での関数の様子がわかる」ということでした。ですので、今回の特集で改めて複素関数を知ることができると期待しています。

この特集の7つの記事のうち、最初の2つの記事を読みましたので、その内容をまとめます。

「複素数ってそもそも何なの？」（須川俊幸さん）

複素数の定義と様々な特徴づけについて書かれています。

複素数の定義

高校で習うレベルの内容なので、ここでは定義を省略しますが、次の特徴が説明されています。

複素数全体 $\mathbb{C}$ は体をなす。
複素共役 $\mathbb{C} \ni c \mapsto \bar{c} \in \mathbb{C}$ は体としての同型写像である。

また、複素数平面を使って考える幾何的特徴も説明されています。複素数 $z$ に複素数 $c$ を掛けることは、 $z$ を原点を中心に $\mathrm{arg} \ c$ 回転させて $|c|$ 倍引き延ばすことになります。

実数体 $\mathbb{R}$ を使った複素数体 $\mathbb{C}$ の3つの特徴づけ

$\mathbb{R}^2$ に演算を入れる

集合 $\mathbb{R}^2$ に、複素数の実部と虚部の和と積の演算結果を保つように和と積を定める。これにより $\mathbb{R}^2$ は体となり、 $\mathbb{C}$ と同型になる。

多項式環 $\mathbb{R}[x]$ を考える

1変数多項式環 $\mathbb{R}[x]$ を、多項式 $x^2+1$ が生成する単項イデアル $(x^2+1)$ で割った商環 $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$ は $\mathbb{C}$ と同型となる*1。特に、 $x$ が代表する同値類が虚数単位に対応する*2。

行列を使った特徴づけ

実数を成分にもつ2次正方行列全体 $M_2(\mathbb{R})$ の元として、 $I$ を単位行列、 $J := \left( \begin{array} {cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$ とする。 $J^2 = -I$ に注意すると、 $\{ aI+bJ \ | \ a, \ b \in \mathbb{R} \}$ は体をなし、 $\mathbb{C}$ と同型になる。 $J$ が虚数単位に対応する。

「複素数は存在するか？」

上のような特徴づけから、「実数が存在するのであれば、それと同時に複素数も存在する」と答えられるのではないかと述べられています。

奇しくも、2018年6月号の発売直前に次のようなブログを書きましたので、興味があればご覧ください。

wed7931.hatenablog.com

複素数の必要性とその拡張

3次方程式の解の公式（ $x^3-15x-4=0$ の解 $x=4$ の話がおもしろい）
代数学の基本定理
物理を議論する上での複素数の必要性
複素数を拡張した四元数体*3、さらに一般化したクリフォード代数*4

「複素関数論の中の実関数」（中村弥生さん）

この記事では、複素関数の特徴的な性質と複素関数に拡張したことで見えてくる実関数の性質について書かれています。

オイラーの公式

実関数を複素関数に拡張することの例として、 $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ の導出を扱っています。また、この式から三角関数の加法定理が得られます。

初等超越関数と特殊関数

本文中で説明されている関数についてのいくつかの用語を挙げます。

解析関数（または正則関数）: 収束するべき級数で定義される関数（例： $\displaystyle \cos z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n} \ (z \in \mathbb{C} )$ ）
初等関数: 代数関数、指数関数、三角関数、対数関数たちの線形結合、積、商、合成関数、逆関数をとる操作で得られる関数
初等超越関数: 初等関数のうち、特に代数関数ではないもの

楕円積分と楕円関数

不定積分が初等超越関数で表せない例として、楕円積分（例： $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^4}} dx$ ）とそこから得られる楕円関数が説明されています。*5

特殊関数

特殊関数について、ガンマ関数 $\Gamma (z)$ 、ゼータ関数 $\zeta (s)$ 、超幾何関数が挙げられています。実関数との関係として、次のことが説明されています。

ガンマ関数とゼータ関数の積は複素パラメータを持つ実関数に関する積分で書ける： $\displaystyle \zeta(s) \Gamma(s) = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s-1}}{e^x-1} dx$ 。
三角関数に関する実積分の値を求めるために、ガンマ関数の相反公式 $\displaystyle \Gamma(z) \Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin \pi z}$ などが用いられる。
素数定理はゼータ関数の性質が密接に関わっている。