7931のあたまんなか

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2乗すると -I になる行列 ～ 『数学ガールの秘密ノート／行列が描くもの』読書メモ

数学 数学ガール

『数学ガールの秘密ノート／行列が描くもの』を読みました。

数学ガールの秘密ノート/行列が描くもの

数学ガールの秘密ノート/行列が描くもの

次の記事にも書きましたが、大学で線形代数を学ぶ人にとっては絶好の入門書です。

wed7931.hatenablog.com


この本の第3章では、実数を成分にもつ2×2行列で2乗して -I （ I は単位行列） になる虚数単位のような行列 J について書かれています。

このような行列について、いろいろと自由に考えたことをまとめておきます。 *1

行列 J の成分表示

このような行列 J の成分表示について、119ページに以下のように書かれています。

解答3-1 （虚数単位 i に類似した行列）
成分がすべて実数の2×2行列 J で、 a を実数、 b を0以外の実数として、 J= \begin{pmatrix} a & b \\ -\frac{a^2 + 1}{b} & -a \end{pmatrix} とすれば、 J^2 = -I を満たす。ただし、 I= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} とする。

証明は3.8節にあります。

J を累乗すると、 J^0 = I, \ J^1=J, \ J^2=-I, \ J^3=-J, \ J^4=I となり、確かに虚数単位に似ています。

a=0, \ b=-1 とすると、 J は \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} （以下、この行列を J_0 と置きます）と書けます。

a, \ b に他の値を代入してみる。

a=1, \ b=1 を代入すると、 J は \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} と書けます。 *2

この行列を I と J_0 の一次結合で書けないかを考えてみました。

つまり、 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} = pI + q J_0 となる実数 p, q が存在するかを調べます。

右辺を具体的に成分表示して比較すると、このような p, q が存在しないことがわかります。

一方、 J_0 = 0 \cdot I + 1 \cdot J_0 が成り立ちます。

ということは、 a, \ b の値によっては J が I と J_0 の一次結合で書けない場合があることがわかります。 *3

それでは、 I と J_0 の一次結合で書ける J はどのようなものでしょうか。

I と J_0 は一次独立か？

その前に、 I と J_0 は一次独立かを調べてみます。 *4

実数 p, \ q について、 (*) \ pI + q J_0 = O であるとします。

行列成分を書き下して連立方程式を解く証明方法もありますが、ここでは行列成分に頼らない方法で証明します。 *5

(*) に J_0 を掛けて両辺を -1 倍すると、 (**) \ qI - pJ_0 = O となります。

(*) \times q - (**) \times p を計算すると、 (p^2 + q^2) J_0 = O 。

両辺に -J_0 を掛けると (p^2 + q^2) I = O で、 p^2 + q^2 = 0 から p=q=0 が得られます。

したがって、 I と J_0 は一次独立であることがわかりました。 *6

I と J_0 の一次結合で書ける J

元の話に戻って、 I と J_0 の一次結合で書ける J がどのようなものかを考えてみます。

J = \begin{pmatrix} a & b \\ -\frac{a^2 + 1}{b} & -a \end{pmatrix} （ a, \ b は実数で b \neq 0 ）として、実数 p, \ q を使って J=pI + q J_0 と書けたとします。

行列成分で書き下して計算すると、 (a,b,p,q) = (0, \pm 1 , 0 , \mp 1) のとき、つまり J = \pm J_0 のときに限ることがわかります。 *7

おわりに

この記事では一次結合という視点で I と J を見てみました。

他にどのような視点での考察があるか。時間があれば調べてみようと思います。

*1:研究問題 3-X1を解いている形です。

*2:研究問題 4-X5では、 a=1, \ b=1 を代入してみよという問題が提示されています。

*3: J の一般形に2乗や分数があることから、もっとスマートに言えるかもしれません。

*4:研究問題 3-X6に提示されています。

*5:つまり、一般の n \times n 行列で使える方法です。

*6:一般の J についても、 I と J が一次独立であることがわかります（ b \neq 0 に注意して計算する）。したがって、2×2の実行列全体のベクトル空間 M_2(\mathbb{R}) の中の I と J が張る部分空間 \mathrm{Span}_{\mathbb{R}}(I, J) は2次元です。

*7:計算の中で a^2 - b^2 = \pm 1 という式が見え隠れします。双曲線と何か関係があるんでしょうか？

息子に算数を教えて気付いたことのメモ

教育 数学 算数

息子は小学4年生で、算数のテーマもだんだん難しくなってきています。

割る数が2桁以上の割り算、四捨五入などの概数、加減乗除とかっこが混じった計算の順序など。


単元ごとのテストの点数が気になり、息子と一緒にテスト問題の解き直しをしました。

学校はテスト返却後の解説が十分に行われていないようで、私が不安を感じたというのも解き直しを始めたきっかけのひとつです。

これを通して気付いたことがいくつかあったので、メモしておこうと思います。

解き直しに過度な負担をかけないようにする。

息子に過度の負担をかけずに飽きさせないために、私がペンでノートに問題を書き写して、息子が回答するのを横で見ます。

わからなそうならヒントを出します。

問題が問うていることを説明する。

横で見ていると、ゆっくりながらも正しく解ける問題が多いことがわかりました。

わからない問題でも、問題が問うていることを説明すると、ペンが動き出したりします。

図や途中計算を積極的に書こう！

一番感心したのは、自分から進んで、ノートの余白に図を描いたり途中計算をしていたところです。

でも、返却されたテストには図や途中計算をした形跡があまりありません。

聞いてみると、「テストの余白に、図を描くと注意されると思っていた」とのこと。

なので、図を描くのは問題ないこと（むしろ積極的に書こう！）を教えました。

もし注意されたら、学校に文句を言うくらいの気持ちはあります。

速く解くより、自分で考えて手を動かして解くことが大事

自分と同じような性質を受け継いだのか、速く解けるタイプではないようです。

じっくり考えて、たくさん手を動かして解くタイプです。

速く解いてほしい！という思いはありますが、まずはよく考えて手を動かすことを大事にしたいと思っています。

もし速さを求めるなら、途中計算を頭の中だけで考えずに紙に書いてみることが一つの手段かと思います。

細かいことだと、割る数が2桁以上の割り算では商の見積もりが大事であり難しいですが、見当をつけたらまずは計算をして見当のあたり／はずれを確認するということも大事です。

問題文を声に出して読む。

以前、Twitterにも書きましたが、問題文を声に出して読むこともとても大事です。

親としてはあせらないのが大事？

親としてはあせっていろいろ教え込みたいと思いますが、子どものペースに合わせてあせらずに対応するのが大事な気がします。

特集「すごい定義」～『数学セミナー 2018年11月号』読書メモ

数学 数学セミナー 読書メモ

『数学セミナー 2018年11月号』の特集は「すごい定義」です。

数学セミナー 2018年 11 月号 [雑誌]

数学セミナー 2018年 11 月号 [雑誌]

数学で登場するいろいろな概念とそれを規定する定義について、生み出される歴史や具体例からの一般化の側面から説明されています。

関数の連続性

関数の連続性は、現在はε-δ式で厳密性をもって定義されます。

その厳密性が、歴史的にどのように導かれたかについて説明されています。

ポイントは次の2点です。

  • そもそも、関数はどのように定義されてきたか？
  • 中間値の定理がどのように扱われてきたか？

後半に出てくる次の言葉が非常に印象的です。

ボルツァーノ以前の解析学は等式の数学が支配的であったが，彼とコーシー以降は不等式のアートが支配的になっていたというのは言い過ぎであろうか．（『数学セミナー 2018年11月号』12ページより）

行列の概念をめぐって

行列の定義に始まり、一次方程式との関係や線形写像の表現行列へと話が進んでいきます。

図像的表示に依拠する (m,n) 型行列 (a_{ij}) を、 mn 個の数 a_{ij} の順序付けられた組 (a_{ij}) とみなす見方は、改めて指摘されるとなるほどと感じました。

後半は、群や環などの代数系を具体的に表現する手段としての行列についてのお話です。

具体的な例として4元数が出てきて、量子力学との関係が簡単に述べられています。

自分が現在勉強中の表現論 *1 との関係として、次のことが書かれていて気になっています。

イデアルの秘密に迫る

前半は環 R のイデアル I の定義が、剰余環 R/I の乗法の定義にどのように”効いて”いるかが説明されています。

後半はイデアルが生まれた歴史的経緯について、次の2つの観点から述べられています。

  • \mathbb{Z} [ \sqrt{-1} ] と \mathbb{Z} [ 5 ] での素因数分解とその一意性の有無
  • クンマーの理想数が満たす性質と現在のイデアルの定義が類似していること

多様体

導入では、微分積分学の基本定理と多様体上で定義された微分形式が満たす一般化されたストークスの定理の関係がざっと説明されています。

その後、球面とトーラスを xyz 座標と極座標の2種類で表示できることを計算し、多様体の定義（後述）が(1)～(3)で定められているのが自然であることが書かれています。個人的には、非常に納得感がある説明でした。

定義　位相空間 M が次の条件(1)～(3)を満たすとき、 M を n 次元 C^{\infty} 級微分可能多様体という：
(1) M はハウスドルフ位相空間である。
(2) M の任意の点 p に対して、 p を含む開集合 U_p と1対1写像 \varphi_p: U_p \to \mathbb{R}^n が存在して、 \varphi_p は U_p から \varphi (U_p) への同相写像となる。
(3) U_p \cap U_q \neq \emptyset のとき、 \varphi_q \circ \varphi_p^{-1} : \varphi_p(U_p \cap U_q) \to \varphi_q(U_p \cap U_q) が \mathbb{R}^n の開集合間の C^{\infty} 級写像である。

後半は、エキゾチック球面、リーマン多様体 *4 、位相不変量などについて書かれています。

1936年の奇跡 ― チューリング機械の誕生

計算とは何か、そして計算可能であるとはどういうことかから始まります。

計算可能であることについて、再帰的関数、λ計算、チューリング機械の3つの側面から説明されています。この3つはすべて同値であることがわかります。

計算可能であることの定義として、チャーチ-チューリングの提唱「計算可能であるとは、チューリング機械で計算可能なことである」が述べられています。（「提唱」という言葉が使われていることに注意。）

後半では、チューリング機械で計算可能であることであるとはどういうことかを掘り下げています。

ポイントになるのは次の点です。

  • (1) 入力する値によっては、出力を持たない場合がありうる関数（部分関数）
    • 例1：計算プログラムが停止せずに出力がない。
    • 例2：計算プログラム内の再帰関数が同じ値を無限に繰り返し出力し続ける。
  • (2) 計算可能な関数は自然数でコード化できる。

(2)については、『数学ガール／ゲーデルの不完全性定理』に出てくるゲーデル数と関係があるのではないかと思っています。（正確には理解できていません…）

数学ガール (数学ガールシリーズ 1)

数学ガール (数学ガールシリーズ 1)

また、計算機という実体がない時代に、チューリング機械という現在の計算機のベースとなる考え方が出されているのも驚きです。

これについては、『数学する身体』の第二章にも書かれています。

数学する身体 (新潮文庫)

数学する身体 (新潮文庫)

*1:『表現論入門セミナー』で勉強中です。

表現論入門セミナー―具体例から最先端にむかって

表現論入門セミナー―具体例から最先端にむかって

*2:位置、運動量、角運動量、エネルギーなど

*3:一般的には、 h_1 = \mathbf{i}, \ h_2 = \mathbf{j}, \ h_3 = \mathbf{k} と書かれるものです。

*4:本文では、微分可能多様体上の曲線の長さが接ベクトルの大きさの積分で計算できることと書かれています。

noteをはじめました。

お知らせ

noteへの投稿をはじめました。

note.mu

今のところ、ブログは数学関係と読書メモ、noteはそれ以外という棲み分けを考えています。
やっていきながら、変わることがあるかもしれませんが。

ブログとあわせてnoteもよろしくお願いします！

『数学ガールの秘密ノート／行列が描くもの』のレビューを担当しました！

数学 数学ガール 本

結城浩さん（@hyuki）の著書『数学ガールの秘密ノート／行列が描くもの』が2018年10月に刊行されました。

数学ガールの秘密ノート/行列が描くもの (数学ガールの秘密ノートシリーズ)

数学ガールの秘密ノート/行列が描くもの (数学ガールの秘密ノートシリーズ)

Amazon

レビューを担当しました！

このたび、執筆中の原稿を読ませていただいて感想や意見をお伝えするレビュアーを担当させていただきました！


私が最も好きな著者のまだ世に出ていない本の原稿を読ませていただくという、貴重であり少し不思議でもある体験をさせていただきました。

この本の発行に、少しでも力になっていればうれしいです。

そして、私をレビュアーに選んでいただいた結城浩さんには感謝の気持ちでいっぱいです！

初めて献本していただきました！

そして、刊行されたばかりの本が出版社より贈られてきました！

私にとって、初めて献本いただく本です。

あとがきには、私の名前も載せていただきました。

また、結城さんのサイン入りです。

この本は自分にとっての宝物なので、保存用としてカバーをかけて保管しておこうと思います。読む用はAmazonで予約済みです。


「行列」の最適な入門書

この本についての自分の経験はさておき、内容についても触れておこうと思います。

一言でいうと、行列の最適な入門書であると思います。


行列は、高校数学の指導要領から消えたり現れたりを繰り返し、2010年代の高校生の大半は学習していません。

一方で、大学1年で数学を学ぶときには必ず行列が出てきます。

行列は、高校までの数学の常識を超える”数”といえるので、扱うためにはある程度の構えが必要になります。

私は高校で行列を学んだ世代なので、行列への構えができた状態で大学数学に臨めましたが、もし行列を知らずに大学数学に入り込めたかというと自信はありません。


この本には行列への構えをするために必要なことが詳しく書かれていますし、この本を読めば大学数学にスムーズに入っていけると思います。

このような意味で、大学1年の講義が始まる前に読んでおくのに最適な行列の入門書です。

MATH POWER 2018に参加してきました。 #Mathpower

数学

2018年10月6日～7日にわたって行われた数学イベント「MATH POWER 2018」に参加してきました。

mathpower.sugakubunka.com

このイベントは今回が3回目。

2016年の第1回から気になっていたイベントで、第2回はニコニコ動画で生放送を見ていました。

そして、今回は現地に行ってみよう！と思い、参加することにしました。

イベント時間約30時間のうち、初日の12:00～19:00のセッションに参加しました。


数学の講演を7時間聴きっぱなしで大満足！

大学院数学専攻を卒業して13年間、数学の講演や講義を聴くことはほとんどありませんでした。

13年のブランクの後に、ゴリゴリの本気の数学の講演を7時間！

数学の内容はもちろん、プレゼンや演出の上手さなどにとても感動しました。

本物の数学の講義のように、ノートにメモを取りながら聴き入りました。

それぞれの講演の簡単なメモを書きます。

なお、講演中に取ったノートや詳細なメモは、私のツイートを集めたTwitterモーメントをご覧ください。

twitter.com

インテジャーズ イン 仮面ライダービルド

講演者の関真一朗さんと辻順平さんのブログはよく読んでいるので、とても楽しみにしていました。

今年8月まで放送されていた、物理学者が主人公の『仮面ライダービルド』の話数表示に出てくる1～50にちなんだお話をしてくれました。

お2人とも整数論を専門にされているようなので、素数や完全数、ゼータ関数などの話が多く出てきました。

私が知っている話もいくつかありましたが、その先のいろいろな広がりや数学の他の分野との関係が見えて、とても興味深い講演でした。

そして、どうやったらここまで数学を深く深く知れるんだろう？と感じました。

これまで以上に、素数や整数への興味が湧いてきました。

仮面ライダービルドの物理学

『仮面ライダービルド』の物理学アドバイザーだった白石直人さんによる、番組に登場したシーンの物理学的背景の説明です。

これを聴いて、物理学の見方が変わりました。

具体的にはこの2点です。

  • 物理法則とは、あらゆる世界（魔法が使えるような空想の世界を含めて）から一定の原理を満たすあり得る世界を選び取ったものであると言える。
  • 物理現象を数式で表すときに、研究する物理の対象をどのように捉えるかが大事である。
    • 例えば、水の流れを数式で表すときに、「水」を分子1個1個でミクロに捉えるか、もっとマクロに捉えるか？

レムニスケートから楕円関数へ

上の2つと比べて、より深く数学に入り込んだ講演です。

相加相乗平均（算術幾何平均）や積分を使って求める曲線の長さといった高校数学でおなじみの話題で始まり、楕円積分や楕円関数といったその先の数学に、自然と連れて行ってくれるわかりやすい講演でした。

意欲的な中高生に贈る数学の話題 ～数理空間トポスより～

中高生のために教科書より先の数学を提供する「数理空間 “τόπος“（トポス）」のチューターと顧問の方による講演です。

テーマは「楕円関数と楕円曲線、それに関係する合同数について」です。

前半は群や同一視、トーラスなどの大学数学での用語が出てきてやや難しいかもしれません。

後半の合同数については、定義は中学生なら十分に理解できる内容です。

定義だけを見れば簡単そうな合同数が予想以上に深いのが印象的でした。フェルマーの最終定理にもつながってきます。

ビブリオマテマティカ ～数学に目覚めるための数学書～

数学書を出版する4つの出版社の方によるプレゼンです。

この講演を聴くためにイベントに参加したといってもいいくらいです。

もっとも印象的だったのが、編集者のみなさんの数学に対する思いです。

講演を聴く前は、数学や科学が好きとは限らない本好きの方が編集者になって、業務上でたまたま数学書に携わっていると、勝手に思い込んでいました。

しかし、講演を聴いて、みなさんの数学に対する思いに感銘を受けました。

  • 大学で数学科に所属していて、数学書の仕事をしている。
  • 化学を専攻していたが、友人宅にあった数学書を読んで数学に目覚めた。
    • その本が自分が学生時代に最も読み込んだといってもよい、永尾汎『代数学』だったのが印象的。
  • 高専から編入した大学で表現論を専門にして、高専時代に勉強したフーリエ解析などを扱っていた。
    • 表現論が専門というのは自分と同じ！

数学書の編集者の方に対してなんて失礼なことを思っていたんだと反省しました。

参加者の方々との交流

Twitterでフォローしているや～まださん（@iipod）にお会いして、1時間ほどお話ししました。

初めてお会いする方でしたが、自分と似ている部分がとても多くて、一気に打ち解けました。数学に対する熱意もすごいです！


講演者の方やほかの方ともお話をしてみたかったのですが、なかなかお声をかけられず…。名刺も準備していましたが、ほとんど渡すことができませんでした。

他の数学イベントに参加するときには、もうちょっと積極的にアプローチしようかと思います。

やっぱり数学は楽しい！

このイベントに参加して、改めて数学の楽しさを実感しました。

やっぱり数学が大好きで一生離れられないと再確認し、数学熱がさらに高まりました！

今後も数学イベントに積極的に参加していきたいと思います！

現場復帰への活動が参考になる ～ 『うつ病九段』読書メモ

メンタルヘルス 読書メモ

先崎学さんの『うつ病九段』。

うつ病患者の一人として、とても気になり手に取ってみました。

うつ病九段 プロ棋士が将棋を失くした一年間

うつ病九段 プロ棋士が将棋を失くした一年間

なぜこの本が気になったか？

「自分がしていた仕事と似ている部分が多いのでは？」と直観的に思ったのが、この本が気になった理由です。


著者の先崎さんはプロ棋士。

頭をフル回転させて対局をこなすことはもちろん、将棋界の発展のための活動もされていました。


自分の休職前の仕事はシステムインフラの設計とプロジェクト管理。

システムインフラの設計には技術力が不可欠で、技術力を日々磨いて実際の業務システムに適用するため、頭を使う業務です。

設計業務と並行して、複数のプロジェクトのマネジメントをしていました。

こちらもマネジメントスキルという技術を持って、複数の関係者との調整をはじめとする人間対人間のかなり泥臭い業務をこなします。


ひとことで言えば、プレイングマネージャーとしての活躍が求められる立場です。

頭を使う仕事と人を動かす仕事を両立させている中で精神的に参ってしまったというのが共通しているように思えました。

初期症状と回復に向かう過程での症状が似ている

この本を読むと、先崎さんと私の初期症状と回復に向かう過程がとても似ていることに気付きました。

入院有無の違いは大きな違いですが、それ以外は似ているところが多くありました。

これに気付いて、この本にどんどん引き込まれました。

ちなみに、31ページに書かれている先崎さんの経験は非常に共感しました。うつ病あるあるなのかもしれません。

先崎さんの現場復帰の過程はリワークそのもの？

現時点（2018年10月時点）の私の目標は、職場復帰に向けてリワークの通所を始めることです。

リワークとは、精神疾患により休職している人の職場復帰に向けたトレーニングを指します。

いろいろな形態がありますが、私が通所を目指しているリワークでは、平日週5日で施設に通い（通勤トレーニング）、疑似的な職場での業務を行います。復職や再発防止に向けた自己分析のようなカリキュラムなども含まれます。


先崎さんは、仲間と将棋を打ったり、多くの人がいる場に顔を出すなどして、徐々に現場復帰に向けた活動を進めました。

その結果、約1年の休養を経て、現場復帰されています。

この過程が、サラリーマンの私にとってのリワークそのものだと感じました。


それでは、

  • 自分はどのような心構えでリワークに臨むか？
  • もう少し先を見て、復職～再発防止に向けてどう活動するか？

を、先崎さんの活動と対応付けて考えようと考えるようになりました。

この本の後半の復帰過程についてはメモを取り、自分なら何をするかを考えながら読みました。

中間管理職の人におすすめの本

私と同じように、中間管理職でプレイングマネージャーとして活動している中で精神的に疲れてしまった人におすすめの本です。

私はまだ現場復帰の途中ですが、この本のことをたまに思い起こしながら活動していきたいと思います。