- 作者: 新井仁之
- 出版社/メーカー: 日本評論社
- 発売日: 2003/01/01
- メディア: 単行本
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第Ⅰ部「面積とは何か」の最後のまとめです。
これまでの読書メモはこちらです。
- 第1~2章:ジョルダンとルベーグの面積の定義
- 第3~4章:ルベーグ測度の性質
- 第5章:カラテオドリの意味での可測性
今回は第6章「d次元ルベーグ測度」のまとめです。
一般の次元のルベーグ測度
第5章までで議論されてきた2次元実数空間 のルベーグ測度を拡張して、第6章では一般の 次元実数空間 のルベーグ測度を定義します 。
2次元で成立する各命題は、 次元でも同様に成立することが説明されています。
第6章の主張と第1~5章の主張の対応
第6章で説明されているいろいろな定義や定理は、第1~5章の定義や定理に対応しており、証明も同様にできます。
ここではその対応をまとめます。
第6章の主張 | 対応する第1~5章の主張 | 備考 |
定義6.1 | 定義1.2 | 基本直方体、基本立方体 |
定義6.2 | 定義2.1 | ルベーグ外測度 |
定理6.3 | 定理2.16 | |
定理6.4 | 定理3.2 | ルベーグ外測度の劣加法性 |
定義6.5 | 例2.2 | (有界)閉集合 |
定義6.6 | 定義2.7 | ルベーグ内測度 |
定義6.7 | 定義2.10, 定義3.18 | ルベーグ可測集合、ルベーグ測度 |
定義6.8 | 定義3.10 | 開集合 |
定理6.9 | 定理3.16' | |
開集合はルベーグ可測 | 系3.15' | |
閉集合はルベーグ可測 | 系3.9' | |
定理6.10 (1) | 定理4.1 | |
定理6.10 (2) | 定理3.1' | ルベーグ測度の完全加法性 |
定理6.11 (2)の条件 | 定義5.1 | カラテオドリの可測性 |
定理6.11 | 定理5.5 | ルベーグ可測とカラテオドリ可測が同値 |
系6.12 | 系4.3 | 等測核、等測核 |
定義6.13 | 命題2.11 (2) | 零集合 |
系6.14 | 系4.4 | |
定理6.15 | 定理4.5 |