7931のあたまんなか

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特集「幾何の概念のアイデア」～『数学セミナー2018年12月号』読書メモその1

数学読書メモ数学セミナー

『数学セミナー 2018年12月号』の特集は「幾何の概念のアイデア」です。

数学セミナー 2018年 12 月号 [雑誌]

数学セミナー 2018年 12 月号 [雑誌]

出版社/メーカー: 日本評論社
発売日: 2018/11/12
メディア: 雑誌
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今年は『数学ガール／ポアンカレ予想』などを通して、これまででいちばん幾何学に触れた年だと思っています。

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そこで得られた知識の復習をすることができました。

ここでは、6個の記事のうち2個のメモを紹介します。

曲率の素朴な考え方

キーワード

曲面とその接平面の「違い」から導かれるガウス曲率
測地線：曲面上の2点を結ぶ最短の曲線
曲面上の三角形と平面上の三角形の辺の長さの比較
驚異の定理

『数学ガール／ポアンカレ予想』でも扱われている

ガウス曲率と驚異の定理は『数学ガール／ポアンカレ予想』第8章でも扱われています。

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驚異の定理からわかること

ガウス曲率が曲面上での曲線の長さの情報 *1 から得られるというのが驚異の定理の主張です。

つまり、微分や接平面をうまく定義できないような対象でも曲率を考えることができることがわかります。

微分形式／局所的にも大域的にも便利な道具

キーワード

上の次微分形式（ -form）
- wedge積 $\wedge$ が持つ交代性と強い冪零性
$k$ 次微分形式全体の集合 $A^k(\mathbb{R}^n)$ は $C^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ 加群となる。
直和 $\bigoplus_{k=0}^{\infty} A^k(\mathbb{R}^n)$ は代数をなし、外積代数（グラスマン代数）と呼ぶ。
外微分はを満たす。
- $\mathbb{R}^n$ 上では $\mathrm{Ker} \ d = \mathrm{Im} \ d$ が成り立つ。
- 境界作用素 $\partial$ との双対性とストークスの公式 $\int_D d \alpha = \int_{\partial D} \alpha$
一般の多様体上の微分形式
- cotangent bandleのsectionが、局所座標系を使った $d x^{i}$ たちになる。
微分形式の引き戻し（pullback）と押し出し（pushout）
微分形式の積分を定義する手法としての1の分解
微分方程式の弱解とカレント

微分形式と微分方程式の解に関係がある…？

この記事の最後では、微分形式と微分方程式の解の関係が、シュワルツ超関数やカレントという言葉を使って示されています。

いまさらながら、「私の修士論文に大いに関係するのでは？」と思うようになりました。修論を理解したい気持ちがさらに強まりました。

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*1:第一基本形式。『数学ガール／ポアンカレ予想』では、内在的な量と表現しています。