フーリエ級数の3つの解釈／『数学セミナー 2018年3月号』読書メモその3

引き続き『数学セミナー 2018年3月号』の「フーリエ解析ことはじめ」についてです。

数学セミナー2018年３月号　フーリエ解析ことはじめ

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熊原啓作さんの「フーリエ級数とは」の読書メモの後半です。
前半はフーリエ級数の定義といくつかの性質を書きました。

wed7931.hatenablog.com

今回はフーリエ級数の3つの解釈の仕方についてまとめます。

前回の復習

周期 $2 \pi$ の周期関数 $f(x)$ に対して、数列 $\{a_n\}_{n=0,1,2, \cdots}$ と $\{b_n\}_{n=1,2,3, \cdots}$ を次で定義する。
$\displaystyle a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \ dx \ , \ \ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx \ dx \ .$
このとき、次の式の右辺にある形式的な無限級数を $f(x)$ のフーリエ級数という。
$\displaystyle f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} ( a_n \cos nx + b_n \sin nx) \ .$

フーリエ級数の解釈(1)：正規直交系への直交射影の和

関数 $f(x)$ と $g(x)$ をベクトルとみなして、次のように内積 $(f, g)$ と長さ*1 $\| f \|$ を定義する。
$\displaystyle (f, g) = \int_{- \pi}^{\pi} f(x) g(x) \ dx \ ,$
$\displaystyle | f \|^2 = (f, f) = \int_{- \pi}^{\pi} |f(x)|^2 \ dx \ .$

このとき、以下のベクトルたちの長さはすべて $1$ になり、相異なるベクトルどうしは内積が $0$ になる。*2
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \ , \frac{\cos nx}{\sqrt{\pi}} \ , \frac{\sin nx}{\sqrt{\pi}} \ (n=1,2,3, \cdots ) .$

つまり、このベクトルたちは正規直交系をなす。
（正規は「長さが $1$ 」、直交は「内積が $0$ 」を表す。直交は高校数学のベクトルでの用語の使い方と同じ！）

フーリエ係数 $a_n, \ b_n$ と内積の定義から、次のことがわかる。
$\displaystyle (f, \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}) \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} = \frac{a_0}{2} \ ,$
$\displaystyle (f, \frac{\cos nx}{\sqrt{\pi}}) \frac{\cos nx}{\sqrt{\pi}} = a_n \cos nx \ ,$
$\displaystyle (f, \frac{\sin nx}{\sqrt{\pi}}) \frac{\sin nx}{\sqrt{\pi}} = b_n \sin nx\ \ (n=1, 2, 3, \cdots ) .$

これらをすべて足し合わせると、 $f(x)$ のフーリエ級数になる。
したがって、フーリエ級数は正規直交系をなす各ベクトル（関数）への直交射影の和と言える。

フーリエ級数の解釈(2)：固有ベクトル分解

$n$ を $0$ 以上の整数とする。
$V_n$ を関数 $\cos nx$ と $\sin nx$ で張られた空間とする（ $V_n = \{ a \cos nx + b \sin nx \ | \ a, b \in \mathbb{R} \}$ ）。また、 $V_0 = \mathbb{R}$ とする。
このとき、フーリエ級数の各項は $V_n$ の元である。

$\varphi (x) \in V_n$ が $\displaystyle \frac{d^2}{dx^2} \varphi (x) = -n^2 \varphi(x)$ を満たすことから、 $\varphi(x)$ は微分作用素 $\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}$ の固有値 $-n^2$ の固有ベクトルと言える。

ちょっと乱暴な言い方をすると…
周期 $2 \pi$ の周期関数でフーリエ級数展開可能なもの全体の集合を $V$ とする。
このとき、 $V_n$ は $V$ の固有値 $-n^2$ の固有空間で、 $\displaystyle V = \bigoplus_{n=0}^{\infty} V_n$ と固有空間分解できる。

したがって、関数 $f(x)$ のフーリエ級数は微分作用素 $\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}$ による固有ベクトル分解ということができる。

補足

なお、本文では、より一般的な用語を使って、固有空間分解に現れる固有値 $\{ 0, -1^2, -2^2, \cdots \}$ を $\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}$ のスペクトルといい、フーリエ級数はスペクトル分解であると書いている。

フーリエ級数の解釈(3)：平均2乗誤差を最小化するもの

先に述べた正規直交系を $\{ \phi_n \}_{n=1,2,3,\cdots}$ と書くことにする。

ここで、周期関数 $f$ と正規直交系をなす $N$ 個の関数の1次結合 $\phi = \xi_1 \phi_1 + \cdots + \xi_N \phi_N$ の距離 $\| f - \phi \|$ を考える。

$\| v \| ^2 = (v, v)$ と $(\phi_i, \phi_j) = \delta_{ij}$ *3に注意して計算すると、次を得る。
$\displaystyle \| f- \phi \| ^2 = \| f - \sum_{n=1}^{N} (f, \phi_n) \phi_n \| ^2 + \sum_{n=1}^{N} |(f, \phi_n) - \xi_n| ^2$

これを $f$ と $\phi$ の平均2乗誤差という。

また、平均2乗誤差が最小になるのは、すべての $n$ で $\xi_n = (f, \phi_n)$ を満たすときである。
したがって、周期関数を三角関数で近似するとき、平均2乗誤差を最小にするのがフーリエ級数であると解釈できる。

そのほかに本文で書かれている内容

ベッセルの不等式： $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} | (f, \phi)|^2 \leq \| f \|^2$
パーセヴァルの等式： $\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2 dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2)$