7931のあたまんなか

テーマ:数学/読書メモ/自分の考え方/水曜どうでしょう/交通関係(道路・航空)など。うつと生きる30代後半の男です。

まずはフーリエ級数から/『数学セミナー 2018年3月号』読書メモ その2

3月に入りすでに最新号が出ましたが、『数学セミナー 2018年3月号』をじっくり読んでいます。

先日は特集「フーリエ解析ことはじめ」の中の2つの記事について、読書メモを書きました。

wed7931.hatenablog.com

今回は熊原啓作さんの「フーリエ級数とは」を読みました。
微分積分学(+ちょっとした線形代数学)の範囲内で、フーリエ級数を説明しています。

ここでは、自分が読んだ中でポイントであると理解した部分といくつかの補足をまとめます。

フーリエ級数の定義

周期  2 \pi の周期関数  f(x) を考える。数列  \{a_n\}_{n=0,1,2, \cdots} \{b_n\}_{n=1,2,3, \cdots} を次で定義する。
  \displaystyle a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \ dx \ , \ \ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx \ dx \ .
このとき、次の式の右辺にある形式的な無限級数 f(x)フーリエ級数という。
  \displaystyle  f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} ( a_n \cos nx + b_n \sin nx) \ .
右辺が収束し、その極限値 f(x) になるとは限らないので、両辺を  = ではなく  \sim で結んでいる。

そのほかに本文で書かれている内容

区分的に滑らかな関数のフーリエ級数の収束

有限区間上で定義された関数  f(x) が次の条件を満たすとする。

  • 高々有限個の点を除いて連続である。
  • 不連続点  x は第1種不連続点である。つまり、有限な右側極限値  f(x-0) と左側極限値  f(x+0) を持つ。
    • 上記2つの性質を持つとき、  f(x) は区分的に連続であるという。
  •  f(x) は区分的に滑らかである。つまり、  f'(x) も区分的に連続である。

 f(x) が周期  2\pi の区分的に滑らかな周期関数のとき、そのフーリエ級数 \displaystyle \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2} に収束する(ディリクレの定理)。
したがって、連続点では  f(x) に、不連続点ではギャップの中間点に収束する。

補足
  • ディリクレの定理の証明は、例えば井上・勝股・林『級数*1定理3.1にある。
  • 本文にはフーリエ級数の一様収束性の記載あり。詳しい証明は『級数』定理1.19など。

フーリエ級数の例

本文では4つの関数のフーリエ級数の計算が紹介されている。

  • 例1: \displaystyle f(x) = x \ ( -\pi < x < \pi), \ 0 \ (x = \pm \pi)
  • 例2: \displaystyle f(x) = |x| \ ( -\pi \le x \le \pi)
  • 例3: \displaystyle f(x) = 1 \ ( |x| \le \frac{\pi}{2}), \ 0 \ (x = \frac{\pi}{2} < |x| \le \pi)
  • 例4: \displaystyle f(x) = x \ ( 0 \le x \le \frac{\pi}{2}), \ \pi - x \ ( \frac{\pi}{2} \le x \le \pi) を奇関数であり周期  2 \pi に拡張した関数
補足
  • 例1の計算結果から、ライプニッツの公式  \displaystyle \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots が得られる。
  • 例2から、  \displaystyle \frac{\pi^2}{8} = 1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \cdots を得る。また、バーゼル問題の解  \displaystyle \zeta (2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} が得られる。( \zeta (s) はリーマンゼータ関数
  • 例4を計算してみたが、どうしても本文に提示されている結果にならなかった。どこかで部分積分を間違えたかなぁ…。

1次元波動方程式の解とフーリエ級数の関係

弦の振動の様子を表す1次元波動方程式  \displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} を初期値・境界値を与えられた条件で解く。その解とフーリエ級数の関係が書かれている。

詳細は省くが、線形斉次常微分方程式の基礎的知識で理解可能と思われる。

次回は「フーリエ級数の3つの解釈」

ここまでが本文の前半部分です。
(一部順番を変えて説明しているので、厳密には違いますが)

次回は後半部分の「フーリエ級数の3つの解釈」についてまとめる予定です。

*1:級数』は次の本を指す。

級数

級数