7931のあたまんなか

テーマ:数学/読書メモ/自分の考え方/水曜どうでしょう/交通関係(道路・航空)など。うつと生きる30代後半の男です。

『数学ガール/ポアンカレ予想』第7章 読書メモ

今回は数学ガールポアンカレ予想』第7章の読書メモです。

第7章のタイトルは微分方程式のぬくもり」

これまでは幾何学に関する話題が中心でしたが、この章は関数の微積分(解析学)の話題になります。

第一印象はこれまでと独立した話題というか唐突な感じでした。ポアンカレ予想にどう関係するかの楽しみが湧いてきます。


なお、前回の第6章の読書メモはこちらです。

wed7931.hatenablog.com


【目次】

第7章のキーワード

これまでの私と微分方程式の関係

常微分方程式はあまり身に付かなかった。

私の年代は高校で微分方程式を習っておらず、大学2年の教養の講義で微分方程式の解法を本格的に学びました。

教科書はポントリャーギン『常微分方程式でした。

ポントリャーギン 常微分方程式 新版

ポントリャーギン 常微分方程式 新版

当時いろいろと勉強しましたが、あまり身に付きませんでした。特に、具体的な計算が苦手だった記憶があります。

偏微分方程式に触れる(1回目)

そんな状態でしたが、偏微分方程式の世界に飛び込みます。

所属していた大学数学科に偏微分方程式の研究者が非常に多かったことが影響していると思います。

大学3年のゼミでは、ユルゲン・ヨスト『ポストモダン解析学を読み、偏微分方程式の入口にチャレンジしました。詳しくは↓で。

wed7931.hatenablog.com

その後も講義などを受けましたが、とても難しく感じて、偏微分方程式からいったん離れます。

偏微分方程式に触れる(2回目)

Lie群の表現論に転向してしばらくすると、また偏微分方程式に出会います。

修士論文を書くことができましたが、論文を追いかけることに一生懸命で十分に理解できたかと言われると自信はありません。

wed7931.hatenablog.com

微分方程式を解く」とはどういうことか?という疑問

このようなバックグラウンドを持って第7章を読むと、そもそも微分方程式を解く」とはどういうことか?と考えるようになりました。

代数方程式と代数学の基本定理

例えば、代数方程式を解く場合は、解の公式や因数分解などを行うことで解を求めます。 *2

そして、代数学の基本定理(n次方程式の解は、重複を含めてn個である)ことから、すべての解が出せたことがわかります。

微分方程式微分方程式の解の一意性…?

それでは、微分方程式を解くことが微分方程式を満たす関数をすべて求めることだとすると、どのような理由付けで「すべて求めた」と言えるんだろう?という疑問が湧いてきました。

第7章の脚注で触れられている微分方程式の解の一意性の主張を正しく理解することが鍵になるんでしょうか。

微分方程式の初歩的な内容だと思いますが、いずれ勉強し直したいです。

なぜこのようなことを思ったか?

図にしてみました。


おわりに

数学ガールポアンカレ予想』の本文の内容からかなり離れて、微分方程式に関する自分の考え方のまとめになってしまいました…。

これらをいずれ理解できるように、ゆっくり数学をやっていこうと思います。

*1:この章で扱われているのは線形常微分方程式で、例えば f'(x)=a , f'(x)=f(x) , f''(x)=-f(x) 。それぞれの解は1次関数、指数関数、三角関数に関係する。

*2:求めることが可能な場合