7931のあたまんなか

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連載「眠れぬ夜の確率論」 ～ 『数学セミナー』読書メモ

数学 数学セミナー 読書メモ 本

『数学セミナー』2018年4月号から、原啓介さんによる「眠れぬ夜の確率論」の連載が始まりました。

数学セミナー2018年4月号 通巻 678号 なぜ数学を学ぶのか

数学セミナー2018年4月号 通巻 678号 なぜ数学を学ぶのか

タイトルのとおり、テーマは確率論です。

高校で、場合の数、確率、条件付き確率を勉強しますが、自分にとってはどれも苦手な分野でした。

大学入試の2次試験では、

  • 場合の数の簡単な問題（碁盤の目の問題）で計算ミスをして、自己採点でへこむ。
  • 本番で確率は出ないでほしい！と思っていたら、その通りになってホッとした。

というような思い出があり印象的です。

確率論は苦手な分野ではありますが、高校数学よりも少し高い視点から確率論を見直してみて、何か得ることがあればと思っています。

【目次】

【第1回 - 2018年4月号】どうやら確からしい話

副題は「ある高校生，近江の君，ラプラス，その他の物語」です。

中学・高校で学習した「同様に確からしい」 *1 というちょっと不思議な言葉をたよりに、確率論の歴史が説明されています。

そして、「同様に確からしい」式の確率論はラプラスが提示した確率の原理がもとになっていることが説明されています。現代の言葉でいうと、次のようなものです。

  • 第一原理：確率の定義
  • 第二原理：和の法則（ここがポイント！）
  • 第三原理：積の法則
  • 第四～第七原理：条件付き確率、ベイズの公式、ベイズ推定
  • 第八～第十原理：期待値

ちなみに、この内容は『数学ガール／乱択アルゴリズム』第4章で古典的確率として紹介されているものです。

数学ガール/乱択アルゴリズム (数学ガールシリーズ 4)

数学ガール/乱択アルゴリズム (数学ガールシリーズ 4)

【第2回 - 2018年5月号】あなたの人生の期待値

副題は「心の代数，千両みかん，ホームズ最後の事件，その他の物語」です。

未来の行動を選択するための期待値的な考え方について、過去に論じられた例を使って説明しています。

ポイントは以下の内容でしょうか。（本文より引用します）

ラプラスは確率の定義とベイズ推定について述べた第七原理までに続いて，第八から第十原理の三つで期待値の基本的性質を述べます．興味深いことは，既にこの時点で，人間の問題に期待値を応用するには絶対的な値の他に相対的な値も加味して，「精神的期待値」を考える必要がある，と書かれていることです．

【第3回 - 2018年6月号】確率・長さおよび面積

副題は「キャロルの三角形，並行宇宙，確率変数の謎，その他の物語」です。

学生時代に確率論の講義を受講していました。詳細な内容はほとんど覚えていませんが、測度論と確率を関連付けて議論していたということは覚えています。

なぜこの2つを関連付けるかはよくわかりませんでしたが、この記事を読んで納得しました。一部を引用します。

「重なりのない図形に点を選ぶ確率は各図形に点を選ぶ確率の和である」と「確率はたかだか1である」の二つを守る限り，我々は「一様」には点を選べないことになります．（略）結論から言えば，確率は面積や長さと同じものだ，という直観は正しかったのですが，「長さ」や「面積」自体に徹底的な反省と再構築が必要だったのです．

その結果として得られたコルモゴロフによる確率の定義が書かれています。σ-加法族を定義した上で、確率空間と確率が定義されています。

続いて、確率変数が定義されます。確率変数は高校以来、いまだによくわかっていないです…。

なお、コルモゴロフによる確率の定義の易しい形 *2 は『数学ガール／乱択アルゴリズム』第4章に書かれています。

【第4回 - 2018年7月号】天才フォン・ミーゼス閣下の蹉跌

副題は「謎のコレクティヴ，ポワソンのごまかし，ミッシングリンク，その他の物語」。

前回説明があったコルモゴロフによる確率の定義が固まる前に提唱されたミーゼスの確率の「定義」についてのお話です。

そのベースとなる考え方は、コルモゴロフの確率空間に対して、ミーゼスはコレクティヴでした。これは実験データを表す無限列を集めたものと言えます。

本文に書かれているコレクティヴの定義を読んだとき、わかりやすくて正当性がありそうと自分は思いました。

しかし、コイン投げなどの例を使って掘り下げていくと、現代の確率論とはズレがあり、数学的には筋が悪そうだということが見えてきます。

（私の説明では循環論法のきらいがありますが、）それを解消したのがコルモゴロフの確率空間の定義だと言えます。

一方、本文の最後に書かれている内容を読むと、ミーゼスの考え方をもっと汲み出すと現在も議論が続く確率と統計のミッシングリンクを埋められるかもしれないと思えてきます。

【第5回 - 2018年8月号】でたらめという名の規則

副題は「反規則性，コルモゴロフ再び，ポーの少年と緋牡丹のお竜，その他の物語」です。

規則性のアンチとしての「ランダム」は、コルモゴロフの確率空間で捉えられていないのではないかという問題提起で、この記事は始まります。

前回出てきたミーゼスは、コレクティヴでランダムを捉えようとしましたが、うまくいきませんでした。

その後、計算そのものの定義づけなどの発展により複雑度が定義され、そこからランダムであることが定義されました。

最後に、「確率」と「複雑度」という関係がありそうに見える概念を結び付けるものが極限定理であると締めくくられています。

おまけですが、本文では「計算とは何か」という節で計算可能性やアルゴリズムなどの概念 *3 が説明されています。これを読んでいて、森田真生『数学する身体』第2章を思い起こしました。

数学する身体 (新潮文庫)

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【第6回 - 2018年9月号】主観確率のあやしくない世界

副題は「DL2号機事件，一貫性，ダッチブック論法，その他の物語」です。

今回の内容を一言でまとめるとすると、確率に課す仮定と確率を定める主観性になるでしょうか。

前半は、確率の考え方をめぐる様々な葛藤が書かれています。

後半は、主観確率を最も首尾一貫した完成された形で提出したデ・フィネッティの理論を説明しています。

ポイントは、以下の2つと言えます。

  • 期待値を基礎に置いた確率の概念
  • 確率を合理的に定めるダッチブック論法

ここからコルモゴロフの確率の定義の一部が導かれるのが、デ・フィネッティの理論の合理性かと思いました。

【第7回 - 2018年10月号】余は如何にして確率論者となりし乎

副題は「梯子酒，秘密の通路，5と7の理由，その他の物語」です。

前回までは、確率をめぐる思想に関する話題が多くありました。

今回は、筆者の確率論との出会いのエピソードをもとにして、具体的な事象の確率について書かれています。

酔歩（ランダムウォーク）を出発点にして、次のような拡張を試みます。

  • 歩数を無限回に拡張する。
  • 境界値条件を課す。（梯子酒問題）
  • 1次元である酔歩を多次元化する。
  • 歩数という離散的な値を連続化する。（ブラウン運動） *4

そうすると不思議なことに、2階微分作用素であるラプラシアンが出てきます。

そして、熱方程式や伊藤の公式との関係が出てきます。

さらにリーマン多様体と偏微分方程式の関係が出てくることが書かれています。

これは、リー群の表現論を専門にしていた私の修士論文と関係するテーマで驚きを隠せませんでした！ *5

【第8回 - 2018年11月号】エントロピーの夢

副題は「ピンチョン，シャノン，ボルツマン，その他の物語」です。

エントロピーという言葉に対する私のイメージは、物理の熱力学あたりで出てくる量というものです。具体的なことはわかりませんが…。

そのエントロピーを、情報学的エントロピーと物理学に出てくるエントロピーに分けて紹介し、確率との関係を説明しています。

結論を言うと、確率分布のエントロピーは確率分布の偏りを測る尺度といえるとのことです。
これは物理で出てくる最大エントロピー原理とも関係してきます。

『数学セミナー 2018年6月号』の「試験のゆめ・数理のうつつ」連載第9回で、確率とエントロピーの関係をいくつかの例題を使って説明しています。

【第9回 - 2018年12月号】負の確率，のようなもの

副題は「魔法のコイン，正負の打ち消し，超検索，その他の物語」です。

コイン投げをしたときに表が出る確率は0から1の実数 p で表せます。

これに対して、 p = \phi^2 を満たす数 \phi を考えます。（ \phi < 0 の場合があることに注意）

このような数の性質をうまく使って、 m 枚のコインを投げた結果の 2^m 通りの事象の確率が一度に求められる方法を考えます。

これは量子コンピュータのための量子アルゴリズムになっていると結ばれています。

【第10回 - 2019年1月号】人間原理の奇妙なロジック

副題は「絶妙な調整，人間孵卵器，人類皆殺し計画，その他の物語」です。

「絶妙な調整」や「人間原理」などの思考実験と確率の関係についての話題です。

この記事に書かれている思考実験のうちのいくつかは、私もぼんやりと考えたことはありますが、確率論につながる話であることには気づいていませんでした。

この回の内容は難しい数式こそ出てこないものの、哲学的に見えて難解な問題に思えました。

【第11回 - 2019年2月号】記憶喪失と自由意志

副題は「シンデレラの罠，眠れる美女，新旧ニューカム問題，その他の物語」です。

前回に続いて、確率に関係する思考実験がいくつか取り上げられています。

「数学は哲学だ」 *6 という言葉がありますが、今回の記事を読みながら、頭の中にこの言葉がちらつきました。

【第12回(最終回) - 2019年3月号】確率のディスクール・断章

副題は「不運と幸運，恋と運命，夢と成功，その他の物語」です。

第1段落の一部を引用します。

今回は締め括りとして趣向を変え，私たちの日常や人生との関わりを断章形式で，つまり短い文章やヒントを書いたカードをばらまくようにして，私の退場のご挨拶としたいと思います．

最終回は、（広い意味で）確率に関する短い文章で構成されています。

数学に近い文章から哲学に近いような文章まで様々です。

確率に関する哲学的考え方や思考実験が、この連載で個人的には非常に印象的でした。

*1:「同様に確からしい」を初めて聞いたのは、小学生のときに見た「平成教育委員会」だったことをはっきり覚えています。

*2:可算加法性というより、有限加法性で書かれている。

*3:本文での脚注にある「枚挙」については『数学セミナー 2017年10月号』の記事「ヒルベルトの第10問題」に書かれています。当ブログでのまとめはこちら。

*4:差分と微分の関係が出てくる。

*5:私の修士論文はこちらで公開しています。 wed7931.hatenablog.com

*6:ここでは賛否は議論しません。

「エレガントな解答をもとむ」で約15年前に勉強した内容に出会った！

数学 数学セミナー

『数学セミナー』という雑誌に「エレガントな解答をもとむ」というコーナーがあります。

私は出された問題を解くよりも、解答・解説を読むことを楽しみにしています。


2018年12月号の出題2の冒頭は次のようになっています。 *1

問題全文はこちらです。

www.web-nippyo.jp


出題時点ではあまり気に留めていませんでしたが、2019年3月号の解答を読むとこのように書いてありました。

この問題の背景には「ルート系のワイル群とディンキン図形」と呼ばれるものがあります．
（中略）
読者の方々にルート系，ワイル群，ディンキン図形に楽しく触れてもらいたいという意図で今回出題させていただきました．
　
（『数学セミナー 2019年3月号』74ページより引用）

これを読んで驚きました。私が学部時代にセミナーで勉強した内容に大きく関係していたからです。


その内容をまとめたレポートを以下の記事で公開しています。

wed7931.hatenablog.com


解答を読むと次のようなことが書かれており、上のレポートに該当する（と思われる）部分があります。

  • A型のルート系のディンキン図形に関係する。
  • この問題は有限実数列の並べ替えと解釈できる。
    • n 次対称群 \mathcal{S}_n を示唆している。
  • 操作 s_k が作用する *2 空間 \{ (x_1, \dots , x_n ) \in \mathbb{R}^n \ | \ \sum_{j=1}^{n} x_j = 0 \}
    • これと同等な空間がレポートに V' として出てくる。

約15年前に勉強したことを思い起こさせてくれる、意外な出会いでした！

*1:引用元： https://www.web-nippyo.jp/10317/

*2:正確ではない書き方です。

特集「ランダム行列」～『数学セミナー2019年2月号』読書メモ

数学 数学セミナー 本 読書メモ

『数学セミナー 2019年2月号』の特集は「ランダム行列」です。

数学セミナー2019年2月号　通巻 688号 ランダム行列

数学セミナー2019年2月号　通巻 688号 ランダム行列

ランダム行列という用語は初めて聞きました。

記事を読んでいくと、「そもそも、乱数とは何か？」という根本的な疑問からスタートして、整数論や物理への応用があることがわかりました。

今回の特集を構成する5つの記事は、いつもよりも関連性が強く、相互参照することでより理解が深まるように思いました。

ランダム行列とはなにか

この記事の冒頭で、「乱数とは何か？」ということが書かれています。

ざっくり言うと、次のようになります。

  • ① 乱数が取る値の範囲を決める。
  • ② 複数の乱数を同時に指定する場合、その間に相関を持たせるか？
    • 例1：複素数の場合…実部と虚部の間の相関（独立にすることもある）
    • 例2：行列 (X_{ij}) の場合… X_{ij}= \overline{X_{ji}} も1つの相関（この場合はエルミート性）
  • ③ 乱数たちの分布をどう指定するか？

行列の成分を上のようなルールで指定した乱数としたものをランダム行列と言います。 *1

①～③の指定によりランダム行列の統計集団が定義されます。

いくつかの限定された統計集団について、ランダム行列の固有値の確率法則が行列サイズを無限大にしたときにどうなるかが研究対象であると説明されています。

この記事では、固有値が比較的調べやすい、特徴的な *2 行列を対象とした統計集団の性質と統計力学の関係について書かれています。

リーマン予想とランダム行列理論

リーマン予想で述べられているリーマン・ゼータ関数の零点とランダム行列の固有値が関係していることが説明されています。

前半は、ゼータ関数 *3 とリーマン予想について詳しく説明されており、これだけでも読む価値があると思うほどです。

また、16ページに書かれている2変数関数の条件に関する考察は、数学での一般化と具体化の行き来を感じられる内容で、個人的に勉強になりました。

確率力学とランダム行列

前半は正規分布に従うランダム行列の詳しい性質、後半はブラウン運動との関連について書かれています。

ランダム行列から行列式点過程へ

ランダム行列の固有値の性質を知る手がかりとなる行列式点過程を相関関数を使って説明しています。

冒頭の固有値が円板状に分布している図、最後の電気回路の図があり、図を見るだけでも楽しいと感じる記事でした。

ランダム行列の応用

ランダム行列の応用について、以下の内容が書かれています。

統計学
多変量統計学の相関や仮説検定、ファイナンスへの応用
物理学
物理学の問題の離散化に関する理論物理学 *4 、量子情報理論
純粋数学 *5
ランダムグラフ理論とランダムウォーク *6 、整数論でのリーマン予想との関連

記事内の用語のメモ

記事内で出てくる用語をいくつか挙げておきます。リンク先はWikipediaです。

*1:20ページの言葉を借りると、「確率変数を成分とする行列」とも言えます。

*2:確率測度がユニタリ変換・直交変換・シンプレクティック変換で不変になる。

*3:15ページに書かれている「有限体上で定義される代数多様体（スキーム）のゼータ関数」は、ラングランズ・プログラムを示唆している？

*4:シュレディンガー方程式と表現論、母関数、組合せ論など、個人的に興味がある言葉が並んでいます。素粒子と表現論による分類は、最近読んだ『数学の大統一に挑む』（エドワード・フレンケル）の冒頭の内容に関係する？

*5:確率論的手法を使うと、「区間 [0, 1] 上の一様分布に従う確率変数は確率1で超越数である」ことが証明できるとのこと。（36ページ）

*6:ランダムな置換を「置換に値をとる確率変数」と説明しているのがおもしろい。（36ページ）

特集「国際数学者会議2018」～『数学セミナー2019年1月号』読書メモ

数学 数学セミナー 読書メモ

『数学セミナー2019年1月号』の特集は「国際数学者会議2018」です。

数学セミナー 2019年1月号 通巻 687号 国際数学者会議2018

数学セミナー 2019年1月号 通巻 687号 国際数学者会議2018

4年に1度開催される国際数学者会議（ICM）の様子と各賞受賞者の業績が紹介されています。

ICM 2018滞在記

2018年8月1日～9日にブラジル・リオデジャネイロで行われたICMの様子が紹介されています。

その中で、プレナリートークの一覧がまとめられています。

私の興味の対象である表現論に関する講演がいくつかあり、講演内容が気になりました。

フィールズ賞：ビルカー

「ファノ多様体の有界性と極小モデルプログラムへの貢献」について書かれています。

双有理幾何学と呼ばれる分野でのBAB予想に対する貢献のようです。

…残念ながら私の能力では理解できませんでした。

フィールズ賞：フィガッリ

偏微分方程式、幾何、確率論の3分野にまたがる貢献での受賞でした。

私が理解可能なものでは変分問題がこれに含まれ、最適輸送問題や流体運動、シャボン玉の形などに関係します。

冒頭では、最適輸送問題の起こりとなったモンジュ問題が数式を使って説明されており、比較的イメージしやすいものでした。

フィールズ賞：ショルツェ

受賞理由については明確な記述はありませんが、筆者との関係性を中心にショルツェさんの業績を紹介しています。

ポイントとなるキーワードは絶対ガロア群とパーフェクトイド空間のようです。

また、ラングランズ対応についても書かれていて、私の興味対象でもあるので気になっています。

前半では、 p 進数体 \mathbb{Q}_p と位数 p の有限体上の形式ローラン級数体 \mathbb{F}_p ( (t) ) を使って、パーフェクトイド体が説明されています。

これについては、過去に書いたこの記事が参考になりそうです。

wed7931.hatenablog.com

ネヴァリンナ賞：ダスカラキス

受賞理由は「経済的な基本的問題に対する計算複雑度を変えた貢献」と書かれています。

前半はナッシュ均衡計算の困難性、後半はオークションの最適メカニズムの説明です。

個人的には、P vs NP問題の復習から始まっていて、すんなりと読み進めることができました。

また、記事内で最適輸送理論という言葉が出てきており、上述したフィガッリさんの研究との関係を思い起こされました。

ガウス賞：ドノホ

「疎性に着目した情報処理」の観点でドノホさんの業績が説明されています。

議論のスタートは未知変数の個数よりも条件式の個数が少ない連立一次方程式系の話で、数学的議論は比較的易しいように見えます。

数学的内容は置いておいて、次の点がとても印象的でした。

  • この研究が生かされる場面が、医療機器のMRIを例に説明されていてわかりやすい。
  • 現場での発見的手法から出発して、ドノホさんが研究活動に入り込んだ。

チャーン賞：柏原正樹

多くの数学関係のTwitterアカウントで言及された話題で、柏原さんの受賞はよく知っていた。

また、学生時代に表現論を専門にしていたこともあり、柏原さんの名前も知っていた。

実際に、記事の中にはリー群の表現論に関する話題が多く出てきていている。

D加群や量子群の研究者が身近にいたこともあり興味を持っていたが、今は何も知識がないのでいずれ勉強してみたい。

フィールズ賞：ヴェンカテシュ

注：この記事は『数学セミナー 2019年2月号』で書かれていますが、関連性を考慮して本エントリに記載します。（2019/2/3追記）

数論の進展に貢献したとの理由でフィールズ賞を受賞したヴェンカテシュの業績について書かれています。

保型L-関数における問題の概説から始まり、その後のヴェンカテシュの業績の説明では、エルゴード理論やリー群の表現論などの言葉が出てきます。

私が最近読んだエドワード・フレンケル『数学の大統一に挑む』の内容に関係すると思われる部分もあり、個人的にはとても興味深いです。

数学の大統一に挑む

数学の大統一に挑む

また、ヴェンカテシュの論文の特徴が随所に書かれているのが印象的です。例えば、このようなことが書かれています。

具体例によるアフターケアが行き届いているところがヴェンカテシュの論文の特徴である（45ページより引用）
　
ヴェンカテシュの論文にはそういった印象 *1 がほとんどなく，1人でも多くの研究者に自分の研究を理解してもらいたいという気持ちがよく伝わってくる．（48ページより引用）

*1:「分かる人にだけ伝わればよい」というスタンス

Android端末に物理キーボードを接続してみた。

TIPS スマホ

最近、自分のまわりでスマホと物理キーボードをBluetooth接続することが流行っています。

長めの文章を書くために便利かと思い、Amazonで買って使ってみました。

PCのような使い勝手で、スマホで長めの文章を書くのがとても楽で気に入っています。

使うまでに設定周りでちょっとはまったので、メモしておきます。

利用環境

スマホ：Xperia XZ1
OS：Android 8.0.0

物理キーボード：Bookey touch *1

タッチパッド搭載 折りたたみ式 Bluetoothキーボード Bookey touch (ブラック) Android/Windows10/iOS iPhone iPad/Mac対応 ワイヤレス コンパクト 技適取得済 半角/全角キー付 日本語説明書付 JTT Online IPBKYTCBK

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Bookey touchの特徴

Bookey touchはタッチパッド付きで、Androidでは画面にマウスカーソルが出てきて、PCと同じようなマウス操作ができます。 *2

そして、マウス操作と画面タッチ操作が併用可能なのが意外と便利です。

スマホと物理キーボードの接続は簡単

スマホと物理キーボードはBluetoothで接続されます。

Bluetoothに慣れていなくても、付属マニュアルを読めば、簡単に接続できます。

物理キーボード設定は「標準キーボード」

使う上でいちばんてこずったのは、物理キーボード設定です。

スマホと物理キーボードを接続した状態で、[設定] - [システム] - [言語と入力] - [物理キーボード] で設定できます。

POBox PlusやGoogle日本語入力やATOKなど、インストールされている日本語変換ソフトが出てきます。

使用したい日本語変換ソフトを選択して、「標準キーボード」に設定します。

こうすることで、次のようなことができます。

  • full/halfキーで、全角／半角入力の切り替え（Windowsと同じ）
  • キーに刻印されたとおりの文字入力 *3

「日本語」に設定しない方がよさそう

「日本語」に設定すると、日本語変換ソフトによって次のようなことが起こりました。

  • full/halfキーで全角／半角入力の切り替えができない。 *4
  • キーに刻印されたとおりの文字入力ができない。
    • 例：キーには「Shift + 2」で「@」が入力できるように刻印されていますが、実際にはWindowsと同様に「"」が入力されます。

なので、キーに刻印されたとおりの入力をするには、「日本語」に設定しない方がよさそうです。

Windowsと同じようなコピペ操作やUNDOができる。

タッチ操作でのコピペやUNDOはやや手間がかかります。

物理キーボードを使うと、「Ctrl + C」でコピーしたり、「Ctrl + Z」でUNDOできたりと、Windowsと同じショートカットキーで操作ができます。

他にもWindowsと同じショートカットキーが使えるようです。

ノートPCを持ち運ぶ必要がなくなった！

長めの文章を書くためにノートPCを持ち運ぶことがありましたが、今後はこのようなことはなくなりそうです。

スマホの小さな画面でも、横画面にすれば長文を打つことにつらさを感じませんでした。

スマホ＋物理キーボード、おすすめです！

*1:2019年1月時点でのAmazonでの価格は5000円程度。

*2:iOSでは、仕様上マウス操作はできないようです。

*3:ただし、「`」と「～」は刻印通りに入力できないようです。

*4:Shift+Ctrlなどで可能。マニュアルに書いてあります。

原子・分子と表現論の関係を勉強し始めた。

数学 表現論

『表現論入門セミナー―具体例から最先端にむかって』の第1章を読み終わりました。

表現論入門セミナー―具体例から最先端にむかって

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第1章のまとめ記事をこれまでに2つ書きました。 *1

§1.6を中心に、原子・分子と表現論の関係が書かれています。

物理学と表現論の関係を勉強することがこの本を読むきっかけだったので、本の序盤でこの話が出てきたのはうれしかったです。

その内容について、まとめてみました。

  1. 水素原子
  2. メタン分子
  3. 水素分子（等核2原子分子）
  4. 一酸化炭素分子（異核2原子分子）

第2章からは本格的に表現論の話が始まります。これからが楽しみです！

*1:まだまとめきれていない内容もあります。そのうちに。

球面上の三角形を見ていて思ったこと

数学

子どもたちと直角三角形の話をしていて、球面上に3つの直角を持つ三角形を書くことができることを説明しました。

三角形が書かれたボールをぼんやり眺めていると、いろんなことが頭に浮かんできました。



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幾何学の問題を考えるってこういうことなのかなぁ…と。

頭の中にあることをメモに書いてみました。あまりまとまりがないのはご容赦を。

幾何学への苦手意識が薄れると、こういう発想もできるようで楽しくなってきました。