座るやいなや，問題を与える．「口頭」とは名ばかり，その場でペンと紙をどしどし使わせ，つまづくようす，解くようす，あきらめるようす，巻き返すようす，を観察する．すぐ解けるようなら問題を難しくし，なかなか解けぬようなら易しくし，初めの2～3分でその人がこなせるぎりぎりの水準を探り当て，30分間6つ～7つ問題をやらせるのである．
（『数学セミナー 2017年4月号』45ページより引用）

紹介されている12問から2問を引用します。

問3　100! のしっぽにはいくつ 0 が連なるか？

問6　すべすべな面に静止したおはじきAに，同質量のおはじきBをぶつけると，散乱角は 90° になる．これを導け．正面衝突させると何がおこるか？

【第2回 - 2017年5月号】確率：逆説あれこれ，条件付けて考える

一般的な確率の問題から、標本調査、ベイズ統計、条件付確率／期待値、幾何確率、積分確率などに関する問題が紹介されています。

印象的だったものは、 調和平均 ≦ 幾何平均 ≦ 算術平均 の関係を確率論的にとらえた問題（題5）です。

確率や期待値を積分を使って評価する問題もいくつかあります。
あまりやったことがないので、とても新鮮に見えました。

【第3回 - 2017年6月号】力学：保存量やりとり，次元解析

運動量、遠心力、ケプラーの三法則、エネルギーなど、数学というより物理の内容です。

高校物理＋αしか学んでいない私にとって、新鮮味がある問題ばかりでした。

例えば、こんな問題。

題5　片面バターを塗ったトーストがテーブルの縁から落ちると，えてしてバター面がうつぶせに着地しますよね．くるりとフル回転してあおむけに着地させるためにはテーブルの高さを何倍にすべきか？即答しなさい．

題8　川床にグラフ $B=B(x)$ で与えられるこぶを築いたとき，川面の高低はどう変わるか？

【第4回 - 2017年7月号】群：対称性をみぬき，作用してほぐす

タイトルにあるとおり、群の作用に着目した問題が紹介されています。

問題に対する解答の帰結として、基本群の例やフェルマーの小定理が得られる問題もあります。

考えたことがなかった！と思ったのが、次の2つの問題です。

題7　群から2元をランダムに抽出したとき，それらが可換な確率は何か？

（題8の後に書かれた内容の抜粋）
群，群というけれど，群ってありふれた存在なのでしょうか？それとも稀なのかな？
定理位数 $n$ の群の数は高々 $n!^{\log_2 n}$ である。
―結合律はかくも厳しい要請なのであった。

【第5回 - 2017年8月号】1変数の微積分：テレスコープ原理，連続と離散

この回は、以下の3つの部分に分類されます。

微分・積分（連続）と差分・和分（離散）の対応関係（ $d$ ・ $\int$ ←→ $\Delta$ ・ $\sum$ ）
中間値の定理、平均値の定理、ド・ロピタルの定理など
ガンマ関数とディガンマ関数、無限級数に関する問題

ディガンマ関数とは、ガンマ関数の対数微分を取ったものとのこと。

ガンマ関数が乗法的とすると、ディガンマ関数は加法的と考えられ、無限級数との相性がよさそうです。

余談ですが、「連続と離散」というと、微分・積分と差分・和分の関係を初めて知った『数学ガール』を読んだときの衝撃が印象に残っています。

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この連載と同じく『数学セミナー』で連載中の梅田亨さんの「計算するたのしみ―スターリング数のいる風景」でも、差分・和分が扱われており、いずれじっくり読んでみたいと思っています。

【第6回 - 2017年9月号】ベクトル解析：ラプラシアンの意味，球の調和場

前半は調和関数（ラプラス方程式 $\triangle \varphi = 0$ の解）に関する問題が紹介されています。

後半はベクトル解析を使って、重力ポテンシャルなどの話が出てきます。
（後半の内容は知識がほとんどないので、私の力では説明できません…）

調和関数は、私の修士時代の研究内容に関係してきます。
時間があれば、改めて勉強したいと思っています。

印象に残った次の問題は、複素関数論のリュウビルの定理の一般化とのこと。
具体的にどういう関係なんだろう？

題8　 $\mathbb{R}^n$ 全体で有界な調和関数は定数である。

【第7回 - 2018年4月号】数論：素数のたちい，合同式のふるまい

6ヶ月間の休載を経て、次は素数と合同式の話題です。
学部時代に勉強した内容でとても懐かしい思いがしました。

内容は次のように分類されます。

孫子の定理（中国剰余定理）と無平方数*1の性質
オイラー・フェルマーの定理*2とRSA暗号
$F \in \mathbb{Z} [ x ]$ の値集合 $F [ \mathbb{Z} ]$ の性質
平方剰余の相互法則
素数定理

素数定理を使った次の問題が印象的です。（本文と記述は変えています）

題17　素数/素数の形の有理数全体は、正の実数全体の集合で稠密である。*3

【第8回 - 2018年5月号】微分方程式：デルタとグリーン，指数函数百面相

微分方程式の解をグリーン関数と呼ばれる関数で記述する問題などが出てきます。

グリーン関数は初めて知りました。ディラックのデルタ関数で記述する関数です。

ですので、たたみ込みやフーリエ変換がからむ話も出てきます。先日書いたこの記事の続きにあたる内容です。（続きを書きたいけど、手が出てません）
wed7931.hatenablog.com

ほかにも、調和振動、強制減衰振動、うなり、共鳴、シュレディンガー方程式、特異摂動といった物理関係の話題が出てきます。

【第9回 - 2018年6月号】確率：エントロピーでえらび，母函数できわめる

前半はエントロピーと確率の関係、後半はまさに確率に関する話です。

…が、今回は畑違いすぎてお手上げです。エントロピーは学部1年の物理の講義で聞いたことがあるなぁという程度です。

解答の内容は理解できませんでしたが、おもしろそうな問題を2つ挙げておきます。

題5　塩漬・糖漬が食品を長持ちさせるのはなぜか？

題11　1990年代GPSは軍事用チャネルと民間用チャネルが併存し，米国防省はわざと雑音を混ぜて民の精度を落としていた．ところが，あっけない工夫のおかげで，民のみ受信してなお軍の精度を達成する人が続出したので，雑音を廃した，という伝説がある．どんな工夫だったでしょうか？

キーワード：ボルツマン分布、確率変数の列の収束の概念いろいろ、大数の法則と中心極限定理の証明、ワイエルシュトラスの近似定理など

【第10回 - 2018年7月号】力学：まわる剛体，いたずらな接点

タイトルにあるように、剛体の力学がテーマです。

自分でも多少は理解できたので、高校程度の物理の知識（慣性モーメント、摩擦係数、回転運動など）があればざっと読めるかと思います。

扱われている問題も生活に即したものが多く、イメージしやすく楽しいです。

氷上の回転椅子に座って回転するには？（題1）
長さが同じ4本脚の机を床に置くと、ガタガタすることがあるのはなぜか？それを直すにはどうすればいいか？（題2）
ビリヤード玉にバックスピンやトップスピンをかけるにはどこを打つべきか？（題8）
逆立ち独楽はなぜ逆立ちするか？（題11）

【第11回 - 2018年8月号】群：位数をよりあわせ，構造をつむぐ

第4回（2017年7月号）に続いて、「群」は2回目です。

前半はあみだくじに代表される対称群と置換の符号について。

$n$ 次対称群 $S_n$ と交代群 $A_n$ の生成系、正多面体群と同型な群などがまとめられています。

次の問題は初めて見ました。確率と期待値を使って解かれています。

題5　 $S_n$ の置換の転倒数の平均は $\frac{1}{2} \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{4}$ 。

記事内で言及されている15パズルの可解性は、『数学セミナー 2017年10月号』で取り上げられています。

wed7931.hatenablog.com

後半は元の位数に関する問題です。

印象的なのはこの問題です。

題8　 $S_9$ に位数20の元は存在するか？位数18の元はどうか？ $S_n$ の元の最大位数はどのくらいか，みつもれ．

最後には、スピンの実験が説明されています。群の準同型と2重被覆、ホモトピー類を体現する実験とのこと。 *4

【第12回 - 2018年9月号】線形代数：自由度の勘定，行列の分解

ガウスの消去法や次元定理などの線形代数の基本から、ラグランジュ補完、ホモロジー、離散フーリエ変換などの話題に展開していきます。

線形代数の教科書でよく見る問題が多い中、次の2つの問題が印象的です。前者は計算量、後者は固有値に関する問題。

題3　四則演算を1ステップと数えて，未知数 $n$ 個，式 $n$ 本の消去法のコストをみつもれ．クラメールの規則と比べよ．

題14　一年中雨季のケンブリッヂでは， $k$ 日目の降水量 $r_k$ を $\frac{r_{k-3} + r_{k-2} + r_{k-1} }{3}$ と予報する． $r_1, r_2, r_3$ は天気予報史初期の観測値，三日坊主で以来観測はやめてしまった．この数列は収束するか？収束先の極限は？

【第13回 - 2018年10月号】多変数微積分：渦巻く場，秘法 εε=δδ-δδ

前半はラグランジュ乗数やヘッセ行列、ストークスの公式などが扱われています。

後半はベクトル積とナブラ $\nabla$ の関係式と物理との関係です。ビオ-サバールの法則、マクスウェル方程式、ナビエ-ストークス方程式など、物理関係の用語が並びます。

次の問題は一見とっつきにくいですが、解答を見て「なるほど！」と思いました。

題5　閉多角形各辺にその辺のサイズの外向き垂ベクトル $\mathbf{n}_i$ を植える． $\sum_{i} \mathbf{n}_i = 0$ である（各 $\mathbf{n}_i$ を90°捻った和は閉 =0．捻る前の和も =0）．閉多面体の類似はいかに？アルキメデスの浮力を説明しなさい．

【第14回 - 2018年11月号】集合：明るい形式，無限の暗がり

数学的帰納法、集合の基数（濃度）、選択公理・整列定理・ツォルンの補題の同値性など。

松坂和夫『集合・位相入門』で勉強していた内容を、とてもざっくりと復習した感じです。

印象的なのは次の問題です。ここで、可算無限 $\aleph_0 = | \mathbb{N} |$ と連続体の濃度 $\mathfrak{c} = \aleph= | \mathbb{R} |$ です。

題4　 $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への解析関数全体の基数を言え．（文言を変えています）

題5　連続関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ で，有理数では無理値を，無理点では有理値を取るものは存在するか？存在するなら例を作り，しないなら理屈を説明せよ．

$\mathbb{Q}$ 上 $\mathfrak{c}$ 次元ベクトル空間 $\mathbb{R}$ の基底の存在（解8の文中）

加えて、あまりなじみのないシュペルナー族やランダムグラフ（とベッチ数の関係）についても書かれています。

【第15回 - 2018年12月号】微分方程式：軌道のゆくえ，相図のかわりめ

常微分方程式の解軌道、平衡点（不動点）の安定性と分岐、微分方程式を離散化した差分方程式、力学系など。

後半は物理に関係する話題が出てきます（減衰ふりこ、勾配流、シュレディンガー方程式など）。

常微分方程式はほとんど理解できていないため、うまくレポートできないのが残念です…。

【第16回 - 2019年1月号】確率：分枝と乱歩，ポワソンと待ち行列

前半は3種類の確率過程（分枝過程、乱歩、連続時間の確率過程）、後半は待ち行列のモデルについて書かれています。

特に、乱歩の確率過程では母関数（離散的な確率分布を係数にした冪級数）が大きな役割を果たしています。

乱歩は『数学ガール／乱択アルゴリズム』第8章、母関数は『数学ガール』第4章が参考になりそうです。

【第17回 - 2019年2月号】特殊相対論：時空の幾何，4運動量の物理

前半は、特殊相対論の主張やそこから導かれる内容について、ミンコフスキー時空やローレンツ群を使って説明されています。

光円錐やローレンツ群の単位元を含む連結成分 $\mathrm{SO}^{+} (1,1)$ などが出てきて、自分が書いた表現論の修士論文に出てきた！とワクワクしました。
もう一度、きちんと理解したいものです。

後半は、4運動量と呼ばれるものを使って議論が展開されています。
残念ながら、ほとんど理解できませんでした…。

題4に書かれている「光速以下の速度をいくら加えたって光速は超えない」という主張がとても印象的です。

【第18回(最終回) - 2019年3月号】トライポス小史

この連載で扱われたトライポスの歴史が書かれています。

年代が進むにしたがって出題範囲が広くなっていっています。

18世紀の出題範囲にすでに含まれている静水力学という用語を初めて知りました。流体力学があることを考えると自然ですね。

また、後半に書かれている、学生指導についての筆者の工夫が印象的です。

*1:素因数分解をしたときに（1以外の）平方因子を持たない数のこと。つまり、素因数分解が相異なる素数の積になる。

*2:フェルマーの小定理の一般化

*3:つまり、 $\alpha < \beta$ を満たす任意の正の実数 $\alpha, \ \beta$ に対して、 $\alpha < p/q < \beta$ を満たす素数 $p, \ q$ が存在する。

*4:あまり理解できていないです…。

2019-02-19

連載「眠れぬ夜の確率論」～『数学セミナー』読書メモ

数学数学セミナー読書メモ本

『数学セミナー』2018年4月号から、原啓介さんによる「眠れぬ夜の確率論」の連載が始まりました。

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タイトルのとおり、テーマは確率論です。

高校で、場合の数、確率、条件付き確率を勉強しますが、自分にとってはどれも苦手な分野でした。

大学入試の2次試験では、

場合の数の簡単な問題（碁盤の目の問題）で計算ミスをして、自己採点でへこむ。
本番で確率は出ないでほしい！と思っていたら、その通りになってホッとした。

というような思い出があり印象的です。

確率論は苦手な分野ではありますが、高校数学よりも少し高い視点から確率論を見直してみて、何か得ることがあればと思っています。

【目次】

【第1回 - 2018年4月号】どうやら確からしい話
【第2回 - 2018年5月号】あなたの人生の期待値
【第3回 - 2018年6月号】確率・長さおよび面積
【第4回 - 2018年7月号】天才フォン・ミーゼス閣下の蹉跌
【第5回 - 2018年8月号】でたらめという名の規則
【第6回 - 2018年9月号】主観確率のあやしくない世界
【第7回 - 2018年10月号】余は如何にして確率論者となりし乎
【第8回 - 2018年11月号】エントロピーの夢
【第9回 - 2018年12月号】負の確率，のようなもの
【第10回 - 2019年1月号】人間原理の奇妙なロジック
【第11回 - 2019年2月号】記憶喪失と自由意志
【第12回(最終回) - 2019年3月号】確率のディスクール・断章

【第1回 - 2018年4月号】どうやら確からしい話

副題は「ある高校生，近江の君，ラプラス，その他の物語」です。

中学・高校で学習した「同様に確からしい」 *1 というちょっと不思議な言葉をたよりに、確率論の歴史が説明されています。

そして、「同様に確からしい」式の確率論はラプラスが提示した確率の原理がもとになっていることが説明されています。現代の言葉でいうと、次のようなものです。

第一原理：確率の定義
第二原理：和の法則（ここがポイント！）
第三原理：積の法則
第四～第七原理：条件付き確率、ベイズの公式、ベイズ推定
第八～第十原理：期待値

ちなみに、この内容は『数学ガール／乱択アルゴリズム』第4章で古典的確率として紹介されているものです。

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【第2回 - 2018年5月号】あなたの人生の期待値

副題は「心の代数，千両みかん，ホームズ最後の事件，その他の物語」です。

未来の行動を選択するための期待値的な考え方について、過去に論じられた例を使って説明しています。

ポイントは以下の内容でしょうか。（本文より引用します）

ラプラスは確率の定義とベイズ推定について述べた第七原理までに続いて，第八から第十原理の三つで期待値の基本的性質を述べます．興味深いことは，既にこの時点で，人間の問題に期待値を応用するには絶対的な値の他に相対的な値も加味して，「精神的期待値」を考える必要がある，と書かれていることです．

【第3回 - 2018年6月号】確率・長さおよび面積

副題は「キャロルの三角形，並行宇宙，確率変数の謎，その他の物語」です。

学生時代に確率論の講義を受講していました。詳細な内容はほとんど覚えていませんが、測度論と確率を関連付けて議論していたということは覚えています。

なぜこの2つを関連付けるかはよくわかりませんでしたが、この記事を読んで納得しました。一部を引用します。

「重なりのない図形に点を選ぶ確率は各図形に点を選ぶ確率の和である」と「確率はたかだか1である」の二つを守る限り，我々は「一様」には点を選べないことになります．（略）結論から言えば，確率は面積や長さと同じものだ，という直観は正しかったのですが，「長さ」や「面積」自体に徹底的な反省と再構築が必要だったのです．

その結果として得られたコルモゴロフによる確率の定義が書かれています。σ-加法族を定義した上で、確率空間と確率が定義されています。

続いて、確率変数が定義されます。確率変数は高校以来、いまだによくわかっていないです…。

なお、コルモゴロフによる確率の定義の易しい形 *2 は『数学ガール／乱択アルゴリズム』第4章に書かれています。

【第4回 - 2018年7月号】天才フォン・ミーゼス閣下の蹉跌

副題は「謎のコレクティヴ，ポワソンのごまかし，ミッシングリンク，その他の物語」。

前回説明があったコルモゴロフによる確率の定義が固まる前に提唱されたミーゼスの確率の「定義」についてのお話です。

そのベースとなる考え方は、コルモゴロフの確率空間に対して、ミーゼスはコレクティヴでした。これは実験データを表す無限列を集めたものと言えます。

本文に書かれているコレクティヴの定義を読んだとき、わかりやすくて正当性がありそうと自分は思いました。

しかし、コイン投げなどの例を使って掘り下げていくと、現代の確率論とはズレがあり、数学的には筋が悪そうだということが見えてきます。

（私の説明では循環論法のきらいがありますが、）それを解消したのがコルモゴロフの確率空間の定義だと言えます。

一方、本文の最後に書かれている内容を読むと、ミーゼスの考え方をもっと汲み出すと現在も議論が続く確率と統計のミッシングリンクを埋められるかもしれないと思えてきます。

【第5回 - 2018年8月号】でたらめという名の規則

副題は「反規則性，コルモゴロフ再び，ポーの少年と緋牡丹のお竜，その他の物語」です。

規則性のアンチとしての「ランダム」は、コルモゴロフの確率空間で捉えられていないのではないかという問題提起で、この記事は始まります。

前回出てきたミーゼスは、コレクティヴでランダムを捉えようとしましたが、うまくいきませんでした。

その後、計算そのものの定義づけなどの発展により複雑度が定義され、そこからランダムであることが定義されました。

最後に、「確率」と「複雑度」という関係がありそうに見える概念を結び付けるものが極限定理であると締めくくられています。

おまけですが、本文では「計算とは何か」という節で計算可能性やアルゴリズムなどの概念 *3 が説明されています。これを読んでいて、森田真生『数学する身体』第2章を思い起こしました。

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【第6回 - 2018年9月号】主観確率のあやしくない世界

副題は「DL2号機事件，一貫性，ダッチブック論法，その他の物語」です。

今回の内容を一言でまとめるとすると、確率に課す仮定と確率を定める主観性になるでしょうか。

前半は、確率の考え方をめぐる様々な葛藤が書かれています。

後半は、主観確率を最も首尾一貫した完成された形で提出したデ・フィネッティの理論を説明しています。

ポイントは、以下の2つと言えます。

期待値を基礎に置いた確率の概念
確率を合理的に定めるダッチブック論法

ここからコルモゴロフの確率の定義の一部が導かれるのが、デ・フィネッティの理論の合理性かと思いました。

【第7回 - 2018年10月号】余は如何にして確率論者となりし乎

副題は「梯子酒，秘密の通路，5と7の理由，その他の物語」です。

前回までは、確率をめぐる思想に関する話題が多くありました。

今回は、筆者の確率論との出会いのエピソードをもとにして、具体的な事象の確率について書かれています。

酔歩（ランダムウォーク）を出発点にして、次のような拡張を試みます。

歩数を無限回に拡張する。
境界値条件を課す。（梯子酒問題）
1次元である酔歩を多次元化する。
歩数という離散的な値を連続化する。（ブラウン運動） *4

そうすると不思議なことに、2階微分作用素であるラプラシアンが出てきます。

そして、熱方程式や伊藤の公式との関係が出てきます。

さらにリーマン多様体と偏微分方程式の関係が出てくることが書かれています。

これは、リー群の表現論を専門にしていた私の修士論文と関係するテーマで驚きを隠せませんでした！ *5

【第8回 - 2018年11月号】エントロピーの夢

副題は「ピンチョン，シャノン，ボルツマン，その他の物語」です。

エントロピーという言葉に対する私のイメージは、物理の熱力学あたりで出てくる量というものです。具体的なことはわかりませんが…。

そのエントロピーを、情報学的エントロピーと物理学に出てくるエントロピーに分けて紹介し、確率との関係を説明しています。

結論を言うと、確率分布のエントロピーは確率分布の偏りを測る尺度といえるとのことです。
これは物理で出てくる最大エントロピー原理とも関係してきます。

『数学セミナー 2018年6月号』の「試験のゆめ・数理のうつつ」連載第9回で、確率とエントロピーの関係をいくつかの例題を使って説明しています。

【第9回 - 2018年12月号】負の確率，のようなもの

副題は「魔法のコイン，正負の打ち消し，超検索，その他の物語」です。

コイン投げをしたときに表が出る確率は0から1の実数 $p$ で表せます。

これに対して、 $p = \phi^2$ を満たす数 $\phi$ を考えます。（ $\phi < 0$ の場合があることに注意）

このような数の性質をうまく使って、 $m$ 枚のコインを投げた結果の $2^m$ 通りの事象の確率が一度に求められる方法を考えます。

これは量子コンピュータのための量子アルゴリズムになっていると結ばれています。

【第10回 - 2019年1月号】人間原理の奇妙なロジック

副題は「絶妙な調整，人間孵卵器，人類皆殺し計画，その他の物語」です。

「絶妙な調整」や「人間原理」などの思考実験と確率の関係についての話題です。

この記事に書かれている思考実験のうちのいくつかは、私もぼんやりと考えたことはありますが、確率論につながる話であることには気づいていませんでした。

この回の内容は難しい数式こそ出てこないものの、哲学的に見えて難解な問題に思えました。

【第11回 - 2019年2月号】記憶喪失と自由意志

副題は「シンデレラの罠，眠れる美女，新旧ニューカム問題，その他の物語」です。

前回に続いて、確率に関係する思考実験がいくつか取り上げられています。

「数学は哲学だ」 *6 という言葉がありますが、今回の記事を読みながら、頭の中にこの言葉がちらつきました。

【第12回(最終回) - 2019年3月号】確率のディスクール・断章

副題は「不運と幸運，恋と運命，夢と成功，その他の物語」です。

第1段落の一部を引用します。

今回は締め括りとして趣向を変え，私たちの日常や人生との関わりを断章形式で，つまり短い文章やヒントを書いたカードをばらまくようにして，私の退場のご挨拶としたいと思います．

最終回は、（広い意味で）確率に関する短い文章で構成されています。

数学に近い文章から哲学に近いような文章まで様々です。

確率に関する哲学的考え方や思考実験が、この連載で個人的には非常に印象的でした。

*1:「同様に確からしい」を初めて聞いたのは、小学生のときに見た「平成教育委員会」だったことをはっきり覚えています。

*2:可算加法性というより、有限加法性で書かれている。

*3:本文での脚注にある「枚挙」については『数学セミナー 2017年10月号』の記事「ヒルベルトの第10問題」に書かれています。当ブログでのまとめはこちら。

*4:差分と微分の関係が出てくる。

*5:私の修士論文はこちらで公開しています。 wed7931.hatenablog.com

*6:ここでは賛否は議論しません。

2019-02-14

「エレガントな解答をもとむ」で約15年前に勉強した内容に出会った！

数学数学セミナー

『数学セミナー』という雑誌に「エレガントな解答をもとむ」というコーナーがあります。

私は出された問題を解くよりも、解答・解説を読むことを楽しみにしています。

2018年12月号の出題2の冒頭は次のようになっています。 *1

問題全文はこちらです。

www.web-nippyo.jp

出題時点ではあまり気に留めていませんでしたが、2019年3月号の解答を読むとこのように書いてありました。

この問題の背景には「ルート系のワイル群とディンキン図形」と呼ばれるものがあります．
（中略）
読者の方々にルート系，ワイル群，ディンキン図形に楽しく触れてもらいたいという意図で今回出題させていただきました．
　
（『数学セミナー 2019年3月号』74ページより引用）

これを読んで驚きました。私が学部時代にセミナーで勉強した内容に大きく関係していたからです。

その内容をまとめたレポートを以下の記事で公開しています。

wed7931.hatenablog.com

解答を読むと次のようなことが書かれており、上のレポートに該当する（と思われる）部分があります。

A型のルート系のディンキン図形に関係する。
この問題は有限実数列の並べ替えと解釈できる。
- $n$ 次対称群 $\mathcal{S}_n$ を示唆している。
操作が作用する *2 空間
- これと同等な空間がレポートに $V'$ として出てくる。

約15年前に勉強したことを思い起こさせてくれる、意外な出会いでした！

*1:引用元： https://www.web-nippyo.jp/10317/

*2:正確ではない書き方です。

2019-02-05

特集「ランダム行列」～『数学セミナー2019年2月号』読書メモ

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『数学セミナー 2019年2月号』の特集は「ランダム行列」です。

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ランダム行列という用語は初めて聞きました。

記事を読んでいくと、「そもそも、乱数とは何か？」という根本的な疑問からスタートして、整数論や物理への応用があることがわかりました。

今回の特集を構成する5つの記事は、いつもよりも関連性が強く、相互参照することでより理解が深まるように思いました。

ランダム行列とはなにか

この記事の冒頭で、「乱数とは何か？」ということが書かれています。

ざっくり言うと、次のようになります。

① 乱数が取る値の範囲を決める。
- 例：自然数全体、実数全体、複素数全体など
② 複数の乱数を同時に指定する場合、その間に相関を持たせるか？
- 例1：複素数の場合…実部と虚部の間の相関（独立にすることもある）
- 例2：行列 $(X_{ij})$ の場合… $X_{ij}= \overline{X_{ji}}$ も1つの相関（この場合はエルミート性）
③ 乱数たちの分布をどう指定するか？
- ガウス分布（正規分布）だと平均値と分散の指定が必要