7931のあたまんなか

テーマ:数学/読書メモ/自分の考え方/水曜どうでしょう/交通関係(道路・航空)など。うつと生きる30代後半の男です。

フーリエ変換とたたみ込みの関係を地図にしてみた/『数学セミナー 2018年3月号』読書メモ その4

数学セミナー 2018年3月号』のフーリエ解析ことはじめ」をもとにして、フーリエ変換の勉強を続けています。

フーリエ級数については、先日このブログでまとめました。

wed7931.hatenablog.com

今回はフーリエ級数からひとつ進んで、フーリエ変換についてです。

フーリエ変換とたたみ込み、そして表現に関する地図

数学セミナー』で言うと、野村隆昭さんの「駆け足で巡るフーリエ変換」の前半部分です。

ここでは、次の5つのトピックについて書かれています。

この5つのトピックについて、学生時代に勉強したことはありますが、関係性がきちんと理解できたかは微妙です。
記事をよく読んでみると、この関係がよくわかってきました。

自分が理解した関係性を地図にまとめてみました。(拡大して見た方がいいかもしれません)


地図の簡単な説明

地図に表した内容のポイントを簡単に書きます。

  • 周期関数の展開公式であるフーリエ級数を一般の関数  f(x) に拡張するために、周期を無限大にして考えたものがフーリエ変換  \hat{f}(\xi) である。
  • 一方、2つの関数  f, g から新たに1つの関数  f*g を作るたたみ込みを考える。
  • たたみ込みはフーリエ変換により関数の積に写される:  \widehat{f*g}(\xi) = \hat{f}(\xi) \hat{g}(\xi) .
  •  (-\infty,+\infty) 上のルベーグ積分な関数全体  L^1(\mathbb{R})  \mathbb{C} 上の表現は、フーリエ変換により「すべて」得られる。

なお、フーリエ変換の定義にはいくつかの流儀*1があります。
ここでは、本文に合わせた  \displaystyle \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \xi t} dt としています。

詳しい証明は本文や他の参考書をご参照ください。

次回の予定

本文では、

  • フーリエ変換の基本的な性質
  • 急減少関数についての反転公式の証明
  • プランシュレルの定理、パーセヴァルの等式
  • フーリエ変換*2 L^2 (\mathbb{R}) におけるユニタリ変換であることの説明

と続きます。

修士時代に表現論を専門にしていたので、いい復習になりそうです。
修論の後半には  L^2 空間の話も出てきたはず。

続きが楽しみです!

*1: \hat{f}(\xi) \sqrt{2\pi} で割ったものなど

*2: \hat{} とは別の流儀のフーリエ変換の定義