関数を「関数の関数」とみなす緩増加超関数／『数学セミナー 2018年3月号』読書メモその6

『数学セミナー 2018年3月号』の特集「フーリエ解析ことはじめ」をようやく読み終えました。

数学セミナー 2018年 03 月号 [雑誌]

出版社/メーカー: 日本評論社
発売日: 2018/02/10
メディア: 雑誌
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これまで5回にわたってまとめ記事を書いてきましたが、今回が最終回です。

前回は、フーリエ変換の基本的性質から始めて、フーリエ変換が $L^2(\mathbb{R})$ 上のユニタリ変換であることまでを書きました。

wed7931.hatenablog.com

今回は急減少関数と緩増加超関数およびその応用についてまとめます。

記号の定義

本題に入る前に、いくつかの記号を定義します。

まず、この記事では、 $d$ 次元ユークリッド空間 $\mathbb{R}^d$ 上で定義された多変数の複素数値関数を考えます。

$\mathbb{R}^d$ の元についての定義

$\mathbb{R}^d$ の元 $x=(x_1,\cdots,x_d), \ \xi=(\xi_1,\cdots,\xi_d)$ に対して、 $\displaystyle x \cdot \xi = \sum_{j=1}^{d} x_j \xi_j$ と定義します。 *1 また、 $|x| = \sqrt{x \cdot x}$ で $x$ の大きさを定義します。

この記法を使うと、 $\displaystyle e^{\pm i x \cdot \xi} = \prod_{j=1}^{d} e^{\pm i x_j \xi_j}$ となります。

多重指数

$\mathbb{Z}_{+} = \{ 0, 1, 2, \cdots \}$ の $d$ 個の直積集合 $\mathbb{Z}_{+}^{d}$ の元を多重指数を呼びます。

多重指数 $\alpha = ( \alpha_1, \cdots, \alpha_d)$ と関数 $f$ に対して、 $x^{\alpha} = x_{1}^{\alpha_1} \cdots x_{d}^{\alpha_d} , \$ $\partial^{\alpha} f = \partial_{1}^{\alpha_1} \cdots \partial_{d}^{\alpha_d} f$ （ただし、 $\partial_{j} = \partial / \partial x_{j}$ ）と定義します。

また、 $|\alpha| = \alpha_1 + \cdots + \alpha_d$ と定義します。

$p$ 乗可積分な関数

$1 \le p < \infty$ とします。関数 $f$ が $p$ 乗可積分であるとは、 $\displaystyle \int_{\mathbb{R}^d} |f(x)|^{p} dx < \infty$ であることを言います。

$p$ 乗可積分な関数全体を $L^p(\mathbb{R}^d)$ と表すこととし、 $f \in L^p(\mathbb{R}^d)$ に対して、 $\displaystyle \| f \|_{p} = \Bigl( \int_{\mathbb{R}^d} |f(x)|^{p} dx \Bigr)^{\frac{1}{p}}$ と定義します。

無限回微分可能な関数

無限回微分可能な関数の全体を $C^{\infty} (\mathbb{R}^d)$ と書きます。

そのような関数 $f$ のうちで、台 $\{ x \in \mathbb{R}^d \ | \ f(x) \neq 0 \}$ *2 がコンパクトなもの全体を $C^{\infty}_{\mathrm{comp}} (\mathbb{R}^d)$ と書きます。

多変数関数のフーリエ変換

これまでの1変数関数のフーリエ変換（その4で説明）を拡張して、多変数関数のフーリエ変換を定義します。

$f \in L^1(\mathbb{R}^d)$ のフーリエ変換と逆フーリエ変換をそれぞれ次のように定義します。

$\displaystyle \hat{f}(\xi) = \mathscr{F}(f)(\xi) = \int_{\mathbb{R}^d} f(x) e^{-i x \cdot \xi} dx \ ,$
$\displaystyle \mathscr{F}^{-1}(f)(x) = \frac{1}{(2\pi)^d} \int_{\mathbb{R}^d} f(\xi) e^{-i x \cdot \xi} d\xi \ .$

フーリエ変換は次のような性質を満たします。

関数 $f$ の反転を $f^{\vee}(x) = f(-x)$ と定義すると、 $\mathscr{F}(f^{\vee})(\xi) = (2\pi)^{d} \mathscr{F}^{-1}(f)(\xi)$ となる。

$t>0$ に対して、拡大・縮小写像 $d_t : \mathbb{R}^{d} \to \mathbb{R}^{d}$ を $d_t(x)=tx$ で定義すると、 $\mathscr{F}(f \circ d_t )(\xi) = t^{-d} \mathscr{F}(f) (t^{-1} \xi)$ となる。

$\sup_{\xi \in \mathbb{R}^d} |\hat{f}(\xi)| \le \| f \|_{L^1}$ が成り立つ。

$f$ と $\mathscr{F}(f)$ がともに可積分ならば、 $\mathscr{F}^{-1}(\mathscr{F}(f)) = \mathscr{F}(\mathscr{F}^{-1}(f)) =f$ となる。

フーリエ変換した関数も可積分か？～急減少関数

上記で述べた性質の最後にある「 $f$ と $\mathscr{F}(f)$ がともに可積分ならば」に注目すると、次のことが言えます。

可積分でない関数 *3 に対しては、フーリエ変換の式の右辺は意味をなさない。
可積分関数のフーリエ変換は、可積分になると限らない。 *4

すると、可積分関数 $f$ のフーリエ変換 $\mathscr{F}(f)$ も可積分になるものがどのようなものかに興味が出てきます。

そこで、シュワルツにより急減少関数という概念が導入されました。

定義　次の2つの条件を満たす関数 $f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{C}$ を急減少関数と言います。
(1) $f \in C^{\infty} (\mathbb{R}^d)$ 。
(2) 任意の多重指数 $\alpha, \ \beta$ に対して、 $\sup_{x \in \mathbb{R}^d} | x^{\alpha}(\partial^{\beta} f) (x) | < \infty$ 。

急減少関数の全体を $\mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$ で表します。

本文では、急減少関数の例として、 $f(x)=e^{-|x|^{2}/2}$ が挙げられています。このときは $\hat{f}(\xi) = (2 \pi)^{d/2} f(\xi)$ となります。

急減少関数の性質

急減少関数は次のような性質を持ちます。

$1 \le p < \infty$ なるすべての $p$ について、 $C^{\infty}_{\mathrm{comp}} (\mathbb{R}^d) \ \subset \ \mathscr{S}(\mathbb{R}^d) \ \subset \ C^{\infty}(\mathbb{R}^d) \cap L^p(\mathbb{R}^d)$ 。

$f \in \mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$ ならば、すべての $\alpha, \ \beta \in \mathbb{Z}_{+}^{d}$ に対して、 $\partial^{\alpha}( (x^{\beta} f) (x) ) \in \mathscr{S}(\mathbb{R}^d) \subset L^1(\mathbb{R}^d)$ 。

急減少関数のフーリエ変換には次のような性質があります。

$f, g \in \mathscr{S}(\mathbb{R}^d), \ \alpha \in \mathbb{Z}_{+}^{d}$ に対して、

$\mathscr{F}( \partial^{\alpha} f) (\xi) = (i \xi)^{\alpha} \hat{f}(\xi)$ 。
$\partial^{\alpha}\hat{f}(\xi) = \mathscr{F}( (-ix) ^{\alpha}f(x)) (\xi)$ 。
$\mathscr{F}(f*g)(\xi) = \hat{f}(\xi) \hat{g}(\xi)$ 。 *5
$\int_{\mathbb{R}^d} f(x) \hat{g}(x) dx = \int_{\mathbb{R}^d} \hat{f}(x) g(x) dx$ 。

2つ目の主張から、 $\hat{f}$ は無限回微分可能であることがわかります。

$\mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$ のフーリエ変換での不変性

上記の性質から、次のことが証明されます。ここまでの議論で最も重要な結果です。*6

定理　 $f \in \mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$ ならば、 $\hat{f} \in \mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$ である。

また、今後の議論のために急減少関数列の収束を定義します。

定義　 $\varphi \in \mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$ とする。急減少関数の列 $\{ \varphi_{k} \}_{k=1}^{\infty}$ が $\varphi$ に $\mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$ の意味で収束するとは、任意の $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}_{+}^{d}$ に対して
$\displaystyle \lim_{k \to \infty} \sup_{x \in \mathbb{R}^d} |x^{\alpha}(\partial^{\beta}(\varphi_{k}-\varphi ) ) (x)| = 0$
を満たすことと定義します。
このことを $\varphi_{k} \to \varphi \ \mathrm{in} \ \mathscr{S}(\mathbb{R}^d) \ ( k \to \infty)$ と書きます。

緩増加超関数とそのフーリエ変換

ディラックのデルタ関数を形式的に計算する。

物理学者のディラックが量子力学の研究の中で、次のような「疑似的な」関数 $\delta(x)$ を考えました。
$\displaystyle \delta(x) = 0 \ (x \neq 0) \ かつ \ \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) dx = 1$

$\delta(x)$ は「通常の」関数としては扱えないため、シュワルツは次のように考えました。

関数 $\varphi$ を考えます。

$x \neq 0$ のとき、 $\delta(x) \varphi(x) = \delta(x) \varphi(0) = 0$ だから、形式的に積分を計算すると、
$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \varphi(x) dx = \varphi(0) \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) dx = \varphi(0)$
と書けます。
つまり、 $\delta$ は写像 $ある関数の集合 \ni \varphi \mapsto \varphi(0) \in \mathbb{C}$ と考えられます。

また、形式的に部分積分を使って、
$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \delta'(x) \varphi(x) dx = -\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x)\varphi'(0) dx = -\varphi'(0)$
微分 $\delta'$ が出てきます。
同じように、 $\delta'$ は写像 $ある関数の集合 \ni \varphi \mapsto -\varphi'(0) \in \mathbb{C}$ とみなせます。

緩増加超関数の定義

ディラックのデルタ関数を含む概念として、緩増加超関数とその微分を定義します。

定義（緩増加超関数）　次の2条件を満たす写像 $F : \mathscr{S}(\mathbb{R}^d) \to \mathbb{C}$ を緩増加超関数と定義します。

（線形性） $\varphi, \psi \in \mathscr{S}(\mathbb{R}^d), \ a, b \in \mathbb{C}$ に対して、 $F(a\varphi + b\psi) = aF(\varphi)+b F(\psi)$ 。

（連続性） $\varphi_{k} \to \varphi \ \mathrm{in} \ \mathscr{S}(\mathbb{R}^d) \ ( k \to \infty)$ ならば、 $F(\varphi_{k}) \to F(\varphi) \ ( k \to \infty)$ 。

緩増加超関数の全体を $\mathscr{S}'(\mathbb{R}^d)$ で表します。

$F(\varphi)$ を $\langle F, \varphi \rangle$ とも書きます。内積を $\langle \cdot, \cdot \rangle$ のように書くことを思い出すと、合理的な記号に思えます。

緩増加超関数の微分

定義（緩増加超関数の微分）　緩増加超関数 $F \in \mathscr{S}'(\mathbb{R}^d)$ の超関数の意味での微分 $\partial_{j} F$ を、写像 $\mathscr{S}(\mathbb{R}^d) \ni \varphi \mapsto \langle F, -\partial_{j} \varphi \rangle \in \mathbb{C}$ と定義します。

$\varphi \in \mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$ に対して、 $\langle \partial_{j} F, \varphi \rangle = \langle F, -\partial_{j} \varphi \rangle$ と書けるので、 $\partial_{j} F$ も緩増加超関数になります。

同様にして、 $\partial^{\alpha} F \in \mathscr{S}'(\mathbb{R}^d)$ を $\langle \partial^{\alpha} F, \varphi \rangle = \langle F, (-1)^{|\alpha|} \partial^{\alpha} \varphi \rangle$ と定義します。よって、 $F \in \mathscr{S}'(\mathbb{R}^d)$ は超関数の意味で無限回微分可能です。

緩増加超関数の例

例1：ディラックのデルタ関数

形式的な計算の結果を当てはめて、 $\delta : \mathscr{S}(\mathbb{R}^d) \to \mathbb{C}$ を $\langle \delta, \varphi \rangle = \varphi(0) \ (\varphi \in \mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$ と定義すれば、 $\delta \in \mathscr{S}'(\mathbb{R}^d)$ となります。

例2：通常の関数

通常の関数 $f$ を次のように緩増加超関数とみなすことができます。

$f$ を「 $\varphi \in \mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$ に対して、複素数 $\displaystyle \langle f , \varphi \rangle = \int_{\mathbb{R}^d} f(x) \varphi(x) dx \in \mathbb{C}$ を対応させる写像」と考えます。

例えば、次のような関数は上のような考え方で緩増加超関数となります。

$1 \le p < \infty$ のときの関数 $f \in L^p(\mathbb{R}^d)$ 。よって、 $L^p(\mathbb{R}^d) \subset \mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$ と言えます。

ある正の数 $k$ に対して、条件 $\sup_{x \in \mathbb{R}^d} | f(x)| (1+|x|)^{-k} < \infty$ を満たす関数 $f$ 。例：関数 $1$ や $x^{\alpha} \ (\alpha \in \mathbb{Z}_{+}^{d})$ 。

この他に、本文ではコーシーの主値などが説明されています。 *7

緩増加超関数のフーリエ変換と関数との積

緩増加超関数のフーリエ変換

$F \in \mathscr{S}' (\mathbb{R}^d)$ のフーリエ変換 $\hat{F} = \mathscr{F}(F)$ を「関数 $\varphi \in \mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$ に対して、複素数 $\langle \hat{F} , \varphi \rangle = \langle F , \hat{\varphi} \rangle \in \mathbb{C}$ を対応させる写像」と定義します。

これにより、 $\hat{F} = \mathscr{F}(F)$ も緩増加超関数となります。

これが定義できることは、先に述べた定理（ $\varphi \in \mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$ ならば、 $\hat{\varphi} \in \mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$ である）から従います。

緩増加超関数の逆フーリエ変換

$F \in \mathscr{S}' (\mathbb{R}^d)$ の逆フーリエ変換 $\mathscr{F}^{-1}(F)$ を「 $\varphi \in \mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$ に対して、 $\langle \mathscr{F}^{-1}(F) , \varphi \rangle = \langle F , \mathscr{F}({\varphi}) \rangle \in \mathbb{C}$ を対応させる写像」と定義します。

このとき、以下が成り立ちます。

$\mathscr{F}^{-1}( \mathscr{F} (F) ) = \mathscr{F}( \mathscr{F}^{-1} (F) ) = F$ 。
$\langle \mathscr{F}(F) , \varphi^{\vee} \rangle = (2 \pi)^{d} \langle \mathscr{F}^{-1}(F) , \varphi \rangle \in \mathbb{C}$ 。

急減少関数と緩増加超関数の積と合成積

$\psi \in \mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$ と $F \in \mathscr{S}' (\mathbb{R}^d)$ との積と合成積をそれぞれ
$\langle \psi F , \varphi) \rangle = \langle F ,\psi \varphi \rangle ,$
$\langle \psi * F , \varphi) \rangle = \langle F ,\psi^{\vee} * \varphi \rangle \ (\varphi \in \mathscr{S}(\mathbb{R}^d))$
で定義します。
また、 $F \psi = \psi F , \ F * \psi = \psi * F$ とします。

このとき、 $\mathscr{F}(F * \psi) = \mathscr{F}(F) \mathscr{F}(\psi)$ が成り立ちます。これは、通常の関数どうしのフーリエ変換の性質に似ています。

緩増加超関数のフーリエ変換の例

例1：ディラックのデルタ関数

$\hat{\delta} = 1$ と $\hat{1} = (2\pi)^d \delta$ が成り立ちます（ $1$ は関数としての $1$ ）。

一般に、多重指数 $\alpha \in \mathbb{Z}_{+}^{d}$ に対して、 $\mathscr{F}(\partial^{\alpha} \delta) = (ix)^{\alpha}$ と $\mathscr{F}(x^{\alpha}) = (2\pi)^{d} i^{|\alpha|} \partial^{\alpha} \delta$ が成り立ちます。

例2：通常の関数

緩増加超関数として定義した微分、フーリエ変換、積、合成積は、通常の関数 $f$ を緩増加超関数とみなす式 $\langle f , \varphi \rangle = \int_{\mathbb{R}^d} f(x) \varphi(x) dx \ (\varphi \in \mathscr{S}(\mathbb{R}^d))$ で計算した結果と同じになることが確かめられます。

つまり、緩増加超関数として定義したそれぞれは、通常の関数の計算結果の拡張になっているということができます。

応用例：偏微分方程式 $\triangle u=−f$ の解を考える

通常の関数を緩増加超関数としてみなすことの応用例として、偏微分方程式の解の考察が説明されています。

ラプラス作用素 $\triangle = \partial_1^2 + \cdots + \partial_d^2$ を考えます。

与えられた $\mathbb{R}^d$ 上の関数 $f$ について、 $\triangle u=−f$ を満たす $u$ がどのような関数かを考察します。

偏微分方程式の両辺をフーリエ変換すると、 $\mathscr{F}(-\triangle u)(\xi) = |\xi|^2 \hat{u}(\xi) = -\hat{f}(\xi)$ となるので、次のようなことが言えます。

フーリエ変換が $|\xi|^{-2} \hat{f}(\xi)$ となる関数 $u$ は、 $\triangle u=−f$ の解となる。

ここで問題を一般化します。

指数 $2$ を $0 < a < d$ となる $a$ に一般化して *8 、フーリエ変換が $|\xi|^{-a} \hat{f}(\xi)$ となる関数を考えます。
このような関数は $f$ の $a$ 次の分数べき積分またはリースポテンシャルと呼ばれます。

各関数に対して $a$ 次の分数べき積分を対応させる作用素を $I_a$ とします。つまり、関数 $f$ の $a$ 次の分数べき積分を $I_a f$ と書きます。 *9

ここで種明かしとして、 $I_a f$ は定数 $\gamma_d(\alpha)$ *10 と積分を使って具体的に記述できることがわかっていて、本文には式が書かれています。 *11

ここで本題に戻って、次のことが確認できればよいことがわかります。

$I_a f$ のフーリエ変換が $|\xi|^{-a} \hat{f}(\xi)$ となる。つまり、任意の $f \in \mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$ に対して、 $\mathscr{F}(I_a f) (\xi) = |\xi|^{-a} \hat{f}(\xi)$ が成り立つ。

ここでは確認手順の概略を示します。
なお本文では、より詳しい説明がされています（特に(5)の計算について）。

(1) （通常の）関数 $k_a(x) = (\gamma_d(a) |x|^{d-a})^{-1}$ を考える。これは緩増加超関数とみなせる。
　
(2) 緩増加超関数 $k_a$ と急減少関数 $f$ の合成積を使って、 $I_a f = k_a * f$ と表せる。
　
(3) (2)の両辺を超関数の意味でフーリエ変換すると、 $\mathscr{F} (I_a f) (\xi) = \widehat{k_a} (\xi) \hat{f} (\xi)$ となる。
　
(4) 証明すべきは、超関数の意味で $\widehat{k_a} (\xi) = |\xi|^{-a}$ となることである。つまり、任意の $\varphi \in \mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$ に対して、次を示せばよい。
$\displaystyle \int_{\mathbb{R}^d} k_a (x) \hat{\varphi}(x) dx = \int_{\mathbb{R}^d} |x|^{-a} \varphi(x) dx$ 。
　
(5) (4)で得られた式を通常の関数の積分として計算をして、確認完了。