7931のあたまんなか

数学／読書メモ／自分の考え方／水曜どうでしょう／交通関係（道路・航空）など、頭の中にあることを書き出しています。

『現代解析の基礎 直観⇔論理』読書メモ (第7章)

数学 読書メモ

昨年末まで『現代解析の基礎 直観⇔論理』（荷見守助・堀内利郎 著）の第6章まで読んでいました。

現代解析の基礎―直観から論理へ 論理から直観へ

現代解析の基礎―直観から論理へ 論理から直観へ


第6章までには、1変数関数の微積分が書かれています。

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今回のテーマは2変数関数の微積分

最後の第7章のテーマは2変数関数の微積分です。

多変数関数の微積分を大学時代に勉強したときには、計算の仕方の理解を優先し、理論的な裏付けは後回しにしていた記憶があります。
特に、重積分や線積分は理解が追い付いていませんでした。

微積分を振り返るために手に取ったこの本では、理論的な裏付けがとても詳細に書いてある印象を持ちました。
その分、具体的な計算は練習問題に回っています。


ちなみに、学生時代に指定された教科書（以下の2冊）は具体的な計算に重きを置いている印象です。 *1

微分 改訂版

微分 改訂版

積分 改訂版

積分 改訂版

第7章 - 2変数関数の微分と積分

\mathbb{R}^2 上の集合と2変数関数
  • ベクトルの性質
    • 本文中では平面ベクトルを扱っているが、一般の n 次元空間でも成り立つ。
  • 座標平面内の部分集合の性質と各種定義
    • 集合の内部、外部、境界など
    • 開集合と閉集合の定義、連結性など
  • 連続な2変数関数の性質
2変数関数の偏微分
  • まずは方向微分と偏微分可能性を定義し、次に座標軸方向の偏微分を定義する。
  • 次の定理が成り立つ。（定理4）
    • f を開集合 D \subset \mathbb{R}^2 上で定義された偏微分可能な関数とする。もし偏導関数 f_x(x,y), \ f_y(x,y) が連続ならば、任意の方向 \mathbf{u}=(\alpha,\beta) \neq 0 に対して偏導関数 f_{\mathbf{u}} が存在し、 f_{\mathbf{u}} (x,y) = \alpha f_x (x,y) + \beta f_y (x,y) が成り立つ。したがって、 f_{\mathbf{u}} も連続である。
  • 1変数と同様に、高階の偏導関数が定義できる。
  • 偏微分の順序交換が可能（つまり、 f_{xy}=f_{yx} ）なのは、 f_{xy} と f_{yx} がどちらも連続な場合である。（定理8）
  • 2変数関数のテイラーの公式では、2通りの剰余項の表し方が書かれている。
偏微分の応用
  • 3次元空間内の曲面 \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ | \ z=f(x,y) \} 上の点における接平面と法線
  • 接平面の方程式の導出過程を反省し、関数 f の全微分可能性と傾き \mathrm{grad} \ f = (f_x, f_y) を定義する。
    • \mathbf{p} \in \mathbb{R}^2 に対して、 (\mathrm{grad} \ f)(\mathbf{p}) は曲面の最大傾斜の方向を表し、これに直交する方向は等高線が走る方向になる。
  • 陰関数定理
  • 極値問題
  • ヤコビ行列とヤコビアン
2変数関数の重積分
  • 2次元閉区間の分割とリーマン和を使って、重積分を定義している。
    • 7ページにわたって細かく丁寧に説明されている。私がこれまでに見た本の中では非常に細かい。
  • 有界な平面図形の面積の測り方
    • これも精緻な議論をしている。ジョルダン可測の定義など。
  • 積分可能条件
    • 不連続点の集合の面積が0の関数は積分可能である。（定理23）
    • ルベーグ積分を意識した書き方？
  • 変数変換（定理24）
    • ヤコビアンや陰関数定理などを使った精緻な議論をしている。
    • 極座標変換では、逆写像が1価にならないために局所座標を入れている。（例11）
  • 広義積分
    • 例13～14に出てくる J, \ B, \ \Gamma はそれぞれガウス積分、ベータ関数、ガンマ関数と呼ばれる。
線積分

まとめ

ざっくりとした理解で終わっていた部分なので、とてもいい復習になりました。

紙とペンを使いながら読む形はとれませんでしたが、微積分で困ったときはこの本に立ち返ろうと思わせてくれる本でした。

ブックオフで100円のたまたま見つけた本でしたが、非常にいい買い物をしました！

*1:ここでは改訂版を紹介していますが、私の学生時代はまだ改訂版は出ていませんでした。

方向転換を決断した人には、いつも「うらやましい」と言っている。

仕事 生き方 メンタルヘルス

自宅の本棚にあった『こんなツレでごめんなさい』（望月昭 著）を読んで、ブクログにこんなレビューを書いた。

こんなツレでゴメンナサイ。 (文春文庫)
著者 : 望月昭
文藝春秋
発売日 : 2010-10-08
ブクログでレビューを見る»
この本を読んだのは2回目になる。

1回目はうつ病になる前に、『ツレうつ』を読んだ後。
2回目はうつ病で休職して復帰を目指している今の段階。

ツレさんと自分は、症状は半分くらいは似ていると思う。
他に本で読んだうつ病経験者とは、症状の共通点が少ない方だと思う。

ツレさんは環境をガラッと変えることで物事が良い方に進んでいっているという印象を持っている。
その方向転換をする勇気と決断力を持っているのが素晴らしいと思う。

逆に、自分はそのような方向転換をするほどの気持ちを持てていない。
方向転換をしようにも、どこに転換すればいいか、転換して進んでいいものかを考えて尻込みしてしまう。

自分もこのような気持ちがほしい。


これを書いて思ったのが、自分は方向転換を決断した人には、いつも「うらやましい」と言っているということ。


自分の周りには、方向転換をした人がたくさんいる。例えば…

  • 新卒で就職した会社を退職して、別の会社に就職した人
  • 高校を中退して、専門学校に通って理容師になった人
  • 大学院の博士課程を中退して研究者をあきらめ、一般企業に就職した人
  • 自衛官を辞めて、別の種類の公務員になった人
  • 育児に専念するために退職した人

こういう人と話すときには、いつも「決断ができて、うらやましい」と言っている。


それでは、自分はどうか。

体調がどうにもならなくて休職をするという選択はした。

これをある路線の駅で停車していると例えると、前述の方向転換した人は別の路線に乗り替わったと言える。

ここまでの決断はできていない。


「うらやましい」という言葉が口をついて出るということは、やはり方向転換をしたいということなんだろうか。

現在は休職中で、時間はある。

これからの人生の進め方をゆっくり考えたい。


ちなみに、この記事を書いている日に放送されたNHK朝ドラ『半分、青い』では、ヒロインの親友である律が退職届を出したシーンがあり、心が動かされた。

www.nhk.or.jp


これ以外にも『半分、青い』では、今の自分の胸に刺さるセリフが多い。






この朝ドラに自分が動かされそうな気がしている。

特集「間違いから発展した数学」～『数学セミナー 2018年9月号』読書メモ

数学 数学セミナー 読書メモ

『数学セミナー 2018年9月号』の特集は「間違いから発展した数学」です。

数学セミナー 2018年 9月号 間違いから発展した (数学ゼミナー)

数学セミナー 2018年 9月号 間違いから発展した (数学ゼミナー)

  • 発売日: 2018/08/10
  • メディア: 雑誌

数学での間違った証明や命題が新しい理論などを生んだ例が7つ *1 の記事で説明されています。

間違いの意義と創造性

科学全般で使われる言葉のセレンディピティやパラダイムシフトについて、数学ではどのような例があったかが説明されています。

具体的には、ユークリッド『原論』に始まり、非ユークリッド幾何学を経由して、数学基礎論に至る道筋が書かれています。

平行線公理

ユークリッド『原論』の第5公準（平行線公理）を他の公準から証明しようとする試みがあったことはよく知られていると思います。

その中で起こった非ユークリッド幾何（双曲幾何）の誕生について書かれています。

関連した話題が『数学ガール／ポアンカレ予想』第4章に書かれています。

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また、『数学セミナー』2017年4月号～2018年3月号で連載されていた足立恒雄さんの「よみがえる非ユークリッド幾何」も参考になりそうです。 *2

関数の連続性についてのコーシーの誤り ― 反例が導いた厳密な概念

（現代の）解析学でよく知られた次の定理に関する話題です。

区間 I 上の連続関数の列 \{ f_n(x) \}_{n=1,2,\dots} を考える。 I 上の関数 f を、 各 x \in I に対して f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) で定義する。
このとき、関数列 \{ f_n \} が区間 I 上で関数 f に一様収束するならば、 f は I で連続である。

この一様収束という条件がどのような議論により導かれたかが説明されています。

ポアンカレ予想

最初のポアンカレ予想はホモロジー群を使った主張でしたが、議論を進める中で誤りであることがわかり、基本群を使った今日のポアンカレ予想になりました。

この記事では、以下のことが書かれています。

最後の節に書かれている論文で予想を述べる重要性も勉強になりました。

ルベーグの間違いと記述集合論の誕生

ルベーグによるボレル集合に関する誤った命題から記述集合論が生まれた経緯が書かれています。

σ-代数、ボレル集合、ディリクレ関数 *4 など、自分が忘れていたことを思い出させてくれました。

間違いと真理 ― 解析学と集合論の場合

自分にとって土地勘がない分野なので読むのがややしんどかったです…。

キーワードは、超準解析／選択公理／ZFC集合論／無限小などでしょうか。

印象的な言葉はこれでした。

古典的な（つまり20世紀中盤くらいまでの）解析学はすべてZFCの中に余裕で展開できると断言できます． ［本文より引用］

4色定理の証明 ― 小さな誤りから大きな問題への道

4色定理の「証明」が1879年に出されましたが、約10年後にこれが誤りであると指摘されました。

この誤った証明がどのようなものだったかが、「6色定理」と「5色定理」を使って説明されています。

*1:4色定理の記事も含めています。

*2:私自身は第3回くらいまで読みました。

*3:次の説明がとても印象的でした。「基本群 \pi_1 (X,b) を可換群化したもの，すなわち商群 \pi_1 (X,b) / [ \pi_1 (X,b) , \pi_1 (X,b) ] を1番ホモロジー群 H_1(X) とみなすことができる．」　※ [ G,G ] は群 G の交換子群。

*4:有理数に対して1、無理数に対して0を返す関数

『数学ガール／ポアンカレ予想』第10章　読書メモ

数学ガール 数学 本 読書メモ

『数学ガール／ポアンカレ予想』第10章の読書メモです。これが最後の章になります。

数学ガール/ポアンカレ予想 (「数学ガール」シリーズ6)

数学ガール/ポアンカレ予想 (「数学ガール」シリーズ6)

  • 作者:結城 浩
  • 発売日: 2018/04/14
  • メディア: 単行本


第10章のタイトルは「ポアンカレ予想」。

この本のタイトルであるポアンカレ予想を読み解きます。

これまでの幾何学を中心とした数学の準備がどのように結実するかが楽しみです。


なお、第9章の読書メモはこちらです。

wed7931.hatenablog.com



【目次】

第10章のキーワード

ポアンカレ予想の主張からわかること

フェルマーの最終定理の主張は小学生でも十分に理解が可能ですが、これに比べるとポアンカレ予想の主張は少し難しいです。

でも、仮定と結論を正しく読み取れれば、3次元閉多様体の判定 *1 ができることがわかると書かれています。

このような主張の読み取りは、高校で習う必要条件や十分条件の練習問題として使えるのではないかと思いました。 *2

ペレルマンによるポアンカレ予想の証明と物理との関係

ポアンカレ予想はペレルマンにより肯定的に解決されました。

証明のいくつかのポイントは本文に書かれています。（サーストンの幾何化予想やハミルトンプログラムなど）

その証明の中では、リッチフロー方程式が使われています。

本文によると、次のように言えるようです。

  • 物理学の熱方程式に対応するものがリッチフロー方程式
  • 熱方程式の温度に対応するのが、リッチフロー方程式のリーマン計量（から計算されるリッチ曲率）

一見して無関係のように思えますが、本文を読んでいると「なるほど…」という気分になりました。

特に、曲率と温度の均一化をイメージさせる表現がある次の部分が印象的です。

  • 355ページ
  • 364ページ～367ページ
  • 376ページ

自分の修士論文も物理と関係があるらしい。

最近のTwitterのTLを見ていると、「私の修士論文の内容も物理との関係がありそう」ということがわかってきました。具体的には水素原子の挙動に関係するようです。

wed7931.hatenablog.com

いずれはその関係を理解してみたいと思い、関係するツイートをTwitterモーメントに集めています。

twitter.com

数学の論文検索はMathSciNetしか知らなかった

数学科の学生時代（'00年代前半）は、論文検索でMathSciNetをよく使っていましたが、arXivは知りませんでした。

MathSciNetとarXivについては以下のサイトに詳しく書かれています。

blog.livedoor.jp

詳しい数学がわからなくても論文は「読める」

自分の場合、細部にこだわって数学書や論文を読む傾向があります。

本文で説明されているペレルマンの論文の「読み方」はとても参考になりました。

《知らないふりゲーム》の具体例がわかりやすい

『数学ガール』シリーズでは、《知らないふりゲーム》がよく出てきます。

本文に書かれている例が非常にわかりやすいと感じました。

ただの集合にどんな構造を入れると、何が議論できるかをまとめておきます。

  • 位相を入れる → 連続性や連結性が議論できる
  • 多様体 → 次元
  • 可微分多様体 → 微分、接空間
  • リーマン計量（リーマン多様体にする） → 距離、角度、曲率

最初のポアンカレ予想はホモロジー群を使ったものだった

ポアンカレ予想の変遷は、『数学セミナー 2018年9月号』の特集「間違いから発展した数学」でも取り上げられていました。

数学セミナー 2018年 9月号 間違いから発展した (数学ゼミナー)

数学セミナー 2018年 9月号 間違いから発展した (数学ゼミナー)

  • 発売日: 2018/08/10
  • メディア: 雑誌

おわりに

『数学ガール／ポアンカレ予想』の全体まとめとして書く記事で説明する予定です。

*1:分類ではないことに注意！

*2:数学でよく使われる、主張の強い／弱いなどの表現を含めて。

『数学ガール／ポアンカレ予想』第9章　読書メモ

数学ガール 数学 本 読書メモ

『数学ガール／ポアンカレ予想』第9章の読書メモをまとめます。

数学ガール/ポアンカレ予想 (「数学ガール」シリーズ6)

数学ガール/ポアンカレ予想 (「数学ガール」シリーズ6)


第9章のタイトルは「ひらめきの腕力」。

ここまでで最後の第10章で必要な数学の準備が終わります。

個人的には、ここ1年ほどで復習している数学の内容が含まれていて、とてもいい頭の整理になりました。


なお、第8章の読書メモはこちらです。

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【目次】

第9章のキーワード

フーリエ展開でハッとした2つの言葉

『数学セミナー 2018年3月号』の特集記事で、フーリエ級数について復習していたので、第9章は頭の整理に最適でした。

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そして、次の2つの言葉はとても印象的で、ハッとしました。定義や定理の表面だけを見ていると気付きにくいのかなと思いました。

「テイラー展開は微分、フーリエ展開は積分を使うのか」 *1 （325ページ）

「なるほど……ところで、 x^2 という関数はもう十分に簡単な形になっていますよね。それをわざわざ三角関数で表す意味はあるんでしょうか。テイラー展開はわかるんです。 \sin x という難しいものを、 x^k というやさしい形で表すんですから。でも……」 （330ページ）

数学に必要なものって？

この章で最も印象的だったのは、定理や数式そのものではなく、冒頭の「9.1.1 ひらめきと腕力と」の内容でした。

「自分にはひらめきも腕力も足りていない。特に腕力が足りない」というのが率直な感想です。

そして、9.1.1節と似たようなことが『数学セミナー 2018年9月号』の特集「間違いから発展した数学」に書かれていました。野家啓一さんの「間違いの意義と創造性」という記事です。

2つを合わせて読むのをおすすめします。

おわりに

残すは最後の第10章です。

これまでは、各章を読んでブログを書いた後に次の章を読んでいました。

今回は、第9章を読んだ勢いでそのまま第10章を読みました。

それでは、第10章のまとめ記事を書き始めましょう！

*1:「テイラー展開の係数は微分を、フーリエ展開の係数は積分を使って書ける」という意味。

平成31年度概算要求から開通予定道路をメモ

道路 交通

道路マニアとして、毎年この時期は、国土交通省から出てくる道路関係予算の概算要求を読むのが楽しみです。

www.mlit.go.jp

後半のページに出てくる来年度開通予定の高規格道路一覧を見るのが目的です。

平成31年度の概算要求のメモとして、資料内に出てくる開通予定道路を書き出しておきます。（地図上に書かれていて一覧性に欠けるので）

深川留萌自動車道（国道233号）
留萌大和田～留萌 4km
北海道横断自動車道根室線に並行（国道44号）
根室道路 7km
八戸久慈自動車道（国道45号）
侍浜～久慈北 8km
三陸縦貫自動車道（国道45号）
釜石北～大槌 5km、気仙沼中央～気仙沼港 2km
東北中央自動車道に並行（国道115号）
相馬福島道路 6km
新東名高速道路
伊勢原JCT～伊勢原北 2km
中部横断自動車道
富沢～南部 7km、南部～下部温泉早川 13km
三遠南信自動車道（国道474号）
天龍峡～龍江 4km
東海環状自動車道（国道475号）
関広見～高富 8km、大野・神戸～大垣西 8km
山陰自動車道に並行（国道9号）
鳥取西道路 18km
山陰自動車道に並行（国道491号）
長門・俵山道路 6km
四国横断自動車道に並行（国道56号）
中村宿毛道路 8km
阪神高速6号大和川線
鉄砲～三宅西 7.7km

大物はあまりありませんが、個人的に楽しみなのは、中村宿毛道路です。
地味な高規格道路が地味に延伸していくのが好きです。

『数学ガール／ポアンカレ予想』第8章　読書メモ

数学ガール 数学 本 読書メモ

この記事は『数学ガール／ポアンカレ予想』第8章の読書メモです。

数学ガール/ポアンカレ予想 (「数学ガール」シリーズ6)

数学ガール/ポアンカレ予想 (「数学ガール」シリーズ6)

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第8章のタイトルは「驚異の定理」。

「驚異の定理」は著名な数学者・ガウスが発見した定理です。 *1

この定理の名前は聞いたことがありましたが、主張は知りませんでした。微分幾何学の講義で出てきたというくらいの印象です。


この章の内容をざっくり説明するとこう言えます。

  • 平面上の三角形と球面上の三角形の面積を、三角形の内角の角度に焦点を当てて考える。
  • この考察でキーになるのが、曲面の曲がり具合を表すガウス曲率という量である。

個人的には、これまでほとんど知らなかった（球面を含む）曲面上の三角形に関する知見が得られたのが収穫でした。


なお、第7章の読書メモはこちらです。

wed7931.hatenablog.com


【目次】

第8章のキーワード

  • 球面の2つの大円によってできる「ルーン」 *2
  • 球面三角形の面積の公式
    • 半径 R の球面上の三角形 \mathbf{T} の3つの内角が \alpha, \beta, \gamma であるとき、 \mathbf{T} の面積は R^2 ( \alpha + \beta + \gamma - \pi) と書ける。
  • （曲線上の点における）曲率
  • （曲面上の点における）ガウス曲率
  • 曲面の内在的な量と外在的な量
  • 驚異の定理
  • 等質性と等方性
  • ガウス・ボンネの定理
    • ガウス曲率が関数 K(p) \ (p \in \mathbf{T}) で表せるとき、 \alpha + \beta + \gamma - \pi = \iint_{\mathbf{T}} K(p)dS となる。 *3

球面上の三角形とその内角って？

第8章を読んで、まず引っ掛かったのが、「球面上の三角形とその内角の定義は？」ということでした。

思い起こすと、学生時代にも引っ掛かっていて、そのままの状態になっていました。

検索するといくつかのページが出てきますが、以下のサイトの「球面上の三角形，角度とは」がわかりやすかったです。

mathtrain.jp

第4章に出てくる大円の説明を読んで、次の2つに気付いて球面上の三角形の内角を理解しました。

  • 球面上の大円が断面となる、球の中心を通る平面で球面が2等分されて、
  • 2つの大円によって作られるそれぞれの平面がなす角を考える。

ガウス曲率を自分なりに理解する

まずは、この理解が必要かと思います。曲線と曲面を明確に意識します。

  • 曲率：曲線について定義されるもの
  • ガウス曲率：曲面について定義されるもの

本文の説明を読んで、ガウス曲率を次のように理解しました。

\mathcal{K}(p) の最大値・最小値が取れるかどうかは横に置いています。

この後はガウス曲率が主役

第8章の後半はほとんどがガウス曲率に関する主張です。

読みながら取ったメモの中からいくつかをピックアップします。

ガウス曲率は曲面を伸び縮みさせない限り不変である。

つまり、ガウス曲率が異なる曲面は伸び縮みさせない限り変形できないと言えます。

これは何らかの同相性を意味しているんでしょうか？

ちなみに、紙を筒状にしたり波打たせたりすることは、「伸び縮みさせない」に含まれます。

驚異の定理

次の2つの概念を定義します。

内在的な量
曲面の中の長さと角度から得られる量 *4
外在的な量
曲面が空間の中にどのように埋め込まれているかを調べないとわからない量 *5

驚異の定理は、本文で次のように表現されています。

ガウス曲率は外在的な量で定義されているのに、内在的な量で表現できる。

最初はこの定理のありがたみがよくわからない中、第8章の末尾にあるこの文章を読んで少し理解できました。

「外の世界」がなくても、我々の宇宙についてその「曲がり方」を語ることができることを強く示唆したのだ。
― 砂田利一『曲面の幾何』

ガウス曲率が0の2つの曲面

一方で、まだ理解が追い付いていないことが1つ。

3次元空間における平面と円筒上にたわめた曲面の関係。どちらもガウス曲率は0。

おそらく、埋め込まれるという概念が理解できればわかりそうです。

おわりに：学生時代に理解できなかった微分幾何学だけど

微分幾何学の講義では、小林昭七『曲線と曲面の微分幾何』が教科書でした。

曲線と曲面の微分幾何

曲線と曲面の微分幾何

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この教科書の該当箇所を参照しながら、第8章を読み進めました。

学生時代は全くと言っていいほど理解できませんでしたが、今なら少しは理解できるかもしれません。

*1:「定理を発見する」という言葉はやや微妙かもしれませんが、ここではこの言葉を使います。

*2:Google検索では、spherical lune で検索するとよさそうです。

*3:特に曲面が半径 R の球面の場合、 K(p) \equiv 1/R^2 から球面三角形の面積の公式が得られます。

*4:後述の小林昭七『曲線と曲面の微分幾何』では、第一基本形式（接ベクトルを使って定義される）に該当する？

*5:同様に、第二基本形式（法線ベクトルを使って定義される）に該当する？